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2009年高中畢業班第三次質量預測

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1995年全國普通高等學校招生統一考試歷史試題

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第三單元：圓周運動

　　[內容和方法]

　　本單元內容包括圓周運動的動力學部分和物體做圓周運動的能量問題，其核心內容是牛頓第二定律、機械能守恒定律等知識在圓周運動中的具體應用。

　　本單元中所涉及到的基本方法與第二單元牛頓定律的方法基本相同，只是在具體應用知識的過程中要注意結合圓周運動的特點：物體所受外力在沿半徑指向圓心的合力才是物體做圓周運動的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物體的受力情況同樣也是本單元的基本方法；只有物體所受的合外力的方向沿半徑指向圓心，物體才做勻速圓周運動。根據牛頓第二定律合外力與加速度的瞬時關系可知，當物體在圓周上運動的某一瞬間的合外力指向圓心，我們仍可以用牛頓第二定律對這一時刻列出相應的牛頓定律的方程，如豎直圓周運動的最高點和最低點的問題。另外，由于在具體的圓周運動中，物體所受除重力以外的合外力總指向圓心，與物體的運動方向垂直，因此向心力對物體不做功，所以物體的機械能守恒。

　　[例題分析]

　　在本單元知識應用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現在：對物體做圓周運動時的受力情況不能做出正確的分析，特別是物體在水平面內做圓周運動，靜摩擦力參與提供向心力的情況；對牛頓運動定律、圓周運動的規律及機械能守恒定律等知識內容不能綜合地靈活應用，如對于被繩（或桿、軌道）束縛的物體在豎直面的圓周運動問題，由于涉及到多方面知識的綜合，表現出解答問題時顧此失彼。

　　例1、一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的半徑大得多），圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）。A球的質量為m₁，B球的質量為m₂。它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為v₀。設A球運動到最低點時，球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m₁，m₂，R與v₀應滿足關系式是。

　　【錯解分析】錯解：依題意可知在A球通過最低點時，圓管給A球向上的彈力N₁為向心力，則有

　　B球在最高點時，圓管對它的作用力N₂為m₂的向心力，方向向下，則有

　　因為m₂由最高點到最低點機械能守恒，則有

　　錯解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏規范的解題過程。沒有做受力分析，導致漏掉重力，表面上看分析出了N₁=N₂，但實際并沒有真正明白為什么圓管給m₂向下的力。總之從根本上看還是解決力學問題的基本功受力分析不過關。

　　【正確解答】首先畫出小球運動達到最高點和最低點的受力圖，如圖4-1所示。A球在圓管最低點必受向上彈力N₁，此時兩球對圓管的合力為零，m₂必受圓管向下的彈力N₂，且N₁=N₂。

　　據牛頓第二定律A球在圓管的最低點有

　　同理m₂在最高點有

　　m₂球由最高點到最低點機械能守恒

　　【小結】比較復雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對象，逐一分析就會變為簡單問題。找出其中的聯系就能很好地解決問題。

　　例2、使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點上升，那么需給它最小速度為多大時，才能使它達到軌道的最高點？

　　【錯解分析】錯解：如圖4-2所示，根據機械能守恒，小球在圓形軌道最高點A時的勢能等于它在圓形軌道最低點B時的動能（以B點作為零勢能位置），所以為

　　從而得

　　小球到達最高點A時的速度v_A不能為零，否則小球早在到達A點之前就離開了圓形軌道。要使小球到達A點（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點的速度必須滿足

　　式中，N_A為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在A點作圓周運動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當N_A=0時，

　　【正確解答】以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。小球在圓形軌道最高點A時滿足方程

　　根據機械能守恒，小球在圓形軌道最低點B時的速度滿足方程

　　解(1)，(2)方程組得

　　
　　軌道的最高點A。

　　例3、用長L=1.6m的細繩，一端系著質量M=1kg的木塊，另一端掛在固定點上。現有一顆質量m =20g的子彈以v₁=500m/s的水平速度向木塊中心射擊，結果子彈穿出木塊后以v₂=100m/s的速度前進。問木塊能運動到多高？（取g =10m/s²，空氣阻力不計）

　　【錯解分析】錯解：在水平方向動量守恒，有

mv₁=Mv+mv₂ (1)

　　式①中v為木塊被子彈擊中后的速度。木塊被子彈擊中后便以速度v開始擺動。由于繩子對木塊的拉力跟木塊的位移垂直，對木塊不做功，所以木塊的機械能守恒，即

　　h為木塊所擺動的高度。解①，②聯立方程組得到

　　v = 8(v/s)

　　h = 3.2(m)

　　這個解法是錯誤的。h = 3.2m，就是木塊擺動到了B點。如圖4-3所示。則它在B點時的速度v_B。應滿足方程

　　這時木塊的重力提供了木塊在B點做圓周運動所需要的向心力。解

　　如果v_B＜4 m/s，則木塊不能升到B點，在到達B點之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運動。而木塊在B點時的速度v_B=4m/s，是不符合機械能守恒定律的，木塊在B點時的能量為(選A點為零勢能點)

　　兩者不相等。可見木塊升不到B點，一定是h＜3.2 m。

　　實際上，在木塊向上運動的過程中，速度逐漸減小。當木塊運動到某一臨界位置C時，如圖4－4所示，木塊所受的重力在繩子方向的分力恰好等于木塊做圓周運動所需要的向心力。此時繩子的拉力為零，繩子便開始松弛了。木塊就從這個位置開始，以此刻所具有的速度v_c作斜上拋運動。木塊所能到達的高度就是C點的高度和從C點開始的斜上拋運動的最大高度之和。

　　【正確解答】如上分析，從式①求得v_A= v = 8m/s。木塊在臨界位置C時的速度為v_c，高度為

h′=L(1+cosθ)

　　如圖4-4所示，根據機械能守恒定律有