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專題五《線段、角與三角形》
●中考點擊
考點分析：
內容
要求
1、直線、線段、射線的概念，線段中點的概念及應用
Ⅰ
2、角平分線、線段的垂直平分線、平行線的性質
Ⅱ
3、余角、補角、鄰補角的概念，進行角度換算
Ⅰ
4、平行線的概念、性質及判定，兩點之間的距離，點到直線的距離
Ⅱ
5、三角形的有關概念，三角形中線的性質及運用
Ⅰ
6、全等三角形的概念、性質及判定
Ⅱ
7、等腰三角形、直角三角形、等邊三角形的概念、性質及判定
Ⅱ
8、利用勾股定理及其逆定理解決簡問題
Ⅰ
命題預測：從近兩年全國課改實驗區和非課改實驗區的中考試題分析，直線型這部分內容是平面幾何的起始內容，概念比較集中，中考對這部分內容的考查以概念為主，主要考查同學們對幾何概念的認識和理解程度.這類中考題常以填空題和選擇題的形式出現，解題時可采用概念辨析法來提高解題的速度與質量．
三角形的知識歷年中考均有涉及，主要考查基本概念及簡單應用，題型常以填空題、選擇題、解答題等形式出現，分值一般在4％－6％之間．近年來有部分地區又出現了一些探索、開放型題目，意在考查學生的知識運用能力和創新能力，其中值得注意的網格中的三角形問題．
2007年中考，將繼續考查線段的中點的概念及應用，對頂角、余角、補角的性質及應用．繼續考查垂線、線段的垂直平分線的性質的應用，進一步突出平行線性質與判定方法的綜合應用．三角形全等的性質和判定，等腰三角形、直角三角形的性質和判定．
●難點透視
例1下列說法中，正確的是（ ）
A．一條射線把一個角分成兩個角，這條射線叫做這個角的平分線
B．
是直線
外一點，
，
，
分別是上的三點，已知
，
，
，則點到的距離一定是1
C．相等的角是對頂角
D．鈍角的補角一定是銳角
【考點要求】本題考查對線與角的基本概念的掌握。
【思路點撥】四個選擇支分別給出了四個不同說法，需要用角平分線、點到直線的距離、對頂角和鈍角、銳角、補角的有關概念做出判斷．
一條射線把一個角分成兩個角，這兩個角不一定相等，A錯；
不一定是點到的距離，所以B錯；相等的角也不一定是對頂角，故C也錯．
【答案】選D．
【方法點撥】部分學生沒有充分題解距離的意義，容易錯誤認地為B是正確答案。突破方法：結合圖形進行判斷，線段PA雖然是最短的，但不一定與直線垂直，因此不可稱作距離。
解題關鍵：正確理解直線外一點到直線的距離是過這點所作直線的垂線段的長度。
例2如圖5-1，AB、CD、EF相交于O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，則∠AOG的度數為（ ）
A．56° B．59° C．60° D．62°
【解析】本題考查通過相交線、垂線、角平分線的組合圖形來檢查同學們觀察、分析圖形的能力．
因為∠FOD與∠COE是對頂角，所以∠COE=28°，又AB⊥CD，所以∠COE＋∠EOB=90°，故∠EOB=62°.由＋∠AOE=180°，有∠AOE=118°.因為OG平分∠AOE，所以∠AOG=59°．
【答案】選B。
本題的突破方法：要抓住OG平分∠AOE，所以要求∠AOG的度數，只要能求出∠AOE的度數即可。
例3如圖5-2，已知BC=CD=DE=EA,∠A=20°,那么∠B的度數是
度。
【考點要求】本題考查等腰三角形基本性質及等邊三角形的判定等知識的運用。
【思路點撥】根據等邊對等角及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可依次求得∠EDA=20°，∠DEC=40°，∠DCE=40°，∠BDC=60°，又BC=CD，所以△BCD是等邊三角形。
【答案】∠B的度數是60度。
【方法點撥】部分學生在第二次使用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”求∠BDC時，容易出現錯誤求得∠BDC=80度。突破方法：看清每一個外角是哪個三角形的外角。∠BDC是△ACD的外角，所以與其不相鄰的兩個內角分別等于20度、40度。
例4如圖5-3，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，點D、E、F、C在同―直線上，有如下三個關系式：① AD=BC；② DE=CF；③BE∥AF。
（1）請用其中兩個關系式作為條件，另一個作為結論，寫出所有你認為正確的命題．（用序號寫出命題書寫形式，如：如果
、，那么）
（2）選擇（1）中你寫出的―個命題，說明它正確的理由．
【考點要求】本題考查的是全全等三角形的判定與性質的應用。
【思路點撥】這是一種開放性的問題，不拘于某種固定的答案，其特點是靈活性較強，能較好地考查學生的思維組織及對知識的靈活運用程度。（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；（2）可根據角角邊、角邊角進行證明。
【答案】如果①，③，那么②；證明略。
【方法點撥】部分學生對三角形全等的判定方法掌握不夠到位，會錯寫成“如果①，②，那么③”的形式。突破方法：在證明三角形全等問題時，要盡量避開出現“邊邊角”條件的情況。
例5我們來探究 “雪花曲線”的有關問題：圖5-4中的圖（1）是邊長為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊,得到第二個圖形如圖5-4中的圖（2）；再將圖5-4中的圖（2）的每條邊三等分，并重復上述的作法，得到第三個圖形如圖5-4中的圖（3）；如此繼續下去，得到的第五個圖形的周長應等于（ ）
A．3 B．
C．
D．
【考點要求】本題是一道和三角形的周長有關的探索型問題．
【思路點撥】從圖形我們可以觀察到從第一個圖形開始，每進行一次操作，所得到的圖形的周長是原來圖形周長的
倍，所以第二個圖形的周長為
；第三個圖形的周長為
；第四個圖形的面積為
；第五個圖形的面積為
．
【答案】選B．
【方法點撥】部分學生無法找出其中的變化規律，想通過逐個計算的方法求解，此方法較為繁雜從而導致計算錯誤。突破方法：從前一個三角形到后一個三角的每邊長發生的變化進行分析，找出變化規律，而整個周長的變化也具有相同規律。
解題關鍵：本題作為規律探索題，可用公式表示結果，如第n個圖形的周長應等于
。
例6已知：如圖5-6，圓O是△ABC的外接圓，圓心O在這個三角形的高CD上，E、F分別是邊AC和BC的中點，求證：四邊形CEDF是菱形.
【考點要求】本題綜合考查了三角形、四邊形及圓的有關知識。
，
，
，
，
，
，
，
。
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】部分學生容易根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明CE=DE，CF=BF，但卻不知怎么證明這四條邊相等。突破方法：先要設法證明△ABC是等腰三角形。
解題關鍵：本題在等AC=BC時，除了用全等，也可根據圓中的垂徑定理進行證明。
例7一架長
，斜立在一豎直的墻上，這時梯子底端距墻底
【考點要求】本題考查勾股定理的應用．
【思路點撥】是的．
證明1：
在
中，
米．
米．
在
中，
米．
．即梯子底端也滑動了
證明2：
在中，米．
米．
可證
．
所以
米．
．即梯子底端也滑動了
梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】本題突破方法主要就是利用勾股定理進行證明，但要注意的是這一結論并不是對所有情形都成立，多數情況下梯子在豎直和水平方向上的滑動距離并不相等，關鍵要看相關的數據。
例8如圖5-7，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F.求證：BF=2CF．
【考點要求】本題考查線段的垂直平分線的有關知識。
【思路點撥】本題解題關鍵是輔助線的添加，連結EF可求解．
因為EF是AC的垂直平分線，所以AF=FC。
因為AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠BAF=90°，所以AF=
BF，即BF=2AF．
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】部分學生沒有添加輔助線，因而無法將CF進行轉化，證明不到BF與CF的關系。突破方法：在同一直線上的的線段倍數關系證明，應設法轉化到同一個三角形中，根據特殊角的相關性質加以證明。
解題關鍵：利用垂直平分線的性質，作出輔助線AF，將CF轉化為AF，再進行證明。
例9一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的證明方法．如5-8，火柴盒的一個側面
倒下到
的位置，連結
，設
，請利用四邊形
的面積證明勾股定理：
．
【考點要求】本題考查勾股定理的證明，試題貼近生活，設計新穎，操作簡單，有利于培養學生的動手能力．
【思路點撥】因為四邊形為直角梯形，
所以
而Rt
Rt
，所以
所以
所以
，所以
即．
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】部分學生因未能將四邊形的面積分割成恰當的圖形，從而無從證明。突破方法：可將四邊形分為三個三角形，分別計算面積，而四邊形本身又是一個直角梯形，也可整體求出其面積，從而建立相等關系。
● 難點突破方法總結
在本部分試題中，出現較多容易混淆的概念和性質，如直線、射線、線段；對頂角、鄰補角；平角與直線；平行線折判定與性質；垂線與垂線段的作圖等。在應考時可利用“比較 ”的思想方法，弄清它們的聯系與區別，以防作出錯誤推斷。此外，還有以下幾點需要注意。
1.掌握角平分線的性質和垂直平分線性質，能靈活運用它們解決實際問題。
2.掌握三角形有關的性質、判定與解題方法，如倍長中線法、構造全等三角形法，截長補短法等是應考的前提。
3.加強對探索題、動點問題、創新題的訓練與研究，并不斷歸納總結方法，逐步形成數學能力。
3.掌握三角形證明題的解題思路和方法，如分解圖形法，構造圖形法，分析法，綜合法，以及數形結合法等。
4.注重知識的歸納總結，并逐步形成一個相對完整的體系，以便于求解綜合題、創新題和開放題。
●拓展演練
一、填空題
1．同一平面內有四點，過每兩點畫一條直線，則直線的條數是
．
2．如圖，已知
相交于點
，
，
，則
度．
3．如圖所示，光線L照射到平面鏡I上，然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來回反射,已知∠α=55°,∠γ=75°,則∠β為 ．
4．已知線段AB=
5.如圖，AB//CD，若∠ABE=1200，∠DCE=350，則有∠BEC=__________度．
6．如圖6所示,AB=AD, ∠1=∠2,添加一個適當的條件,使△ABC≌△ADE,則需要添加的條件是_________________________________________________．
7．如圖，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，則∠OAD= ．
 |
8．如圖所示，在等腰三角形
中，
，
，那么底邊上的高
cm．
9．如圖，△ABC中，∠B=90º，∠C=30º，AB=1，將△ABC繞頂點A旋轉1800，點C落在C′處，則CC′的長為 ．
10.如圖所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為①、②、③、④、⑤……，則第n個等腰直角三角形的斜邊長為_____________．
二、選擇題
11．用一副三角板畫角,不能畫出的角的度數是（ ）
A．15° B．75° C．145° D．165°
12．如圖，以下條件能判定
的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
13．如圖，已知AB∥CD，則（ ）
Ａ．∠1=∠2＋∠3 B．∠1=2∠2＋∠3
C．∠1=2∠2－∠3 D．∠1=180°－∠2－∠3
14．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點，且BD=BC=AD，則∠A等于（ ）
A．30° B．36°
C．45°
D．72°
15．如圖，
與
均為正三角形，且
，則
與
之間的大小關系是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．大小關系不確定
16．下圖是一個等邊三角形木框，甲蟲
在邊框
上爬行（
，
端點除外），設甲蟲到另外兩邊的距離之和為
，等邊三角形的高為
，則與的大小關系是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．無法確定
17．如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形中，邊長為無理數的邊數是（ ）
A．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
18．一位園藝設計師計劃在一塊形狀為直角三角形且有一個內角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的幾何圖形圖案．某同學為此提供了如圖所示的五種設計方案．其中可以滿足園藝設計師要求的有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
三、解答題
19．如圖，滑桿在機械槽內運動，
為直角，已知滑桿
長在上運動，量得滑桿下端
距點的距離為向右移動下滑多少米？
20．如圖，△是等邊三角形，點
、
、
分別是線段、
、
上的點，
（1）若
，問△
是等邊三角形嗎？試證明你的結論；
（2）若△是等邊三角形，問成立嗎？試證明你的結論．
●習題答案
一、填空題
1．1條或4條或6條（提示：分四點共線、三點共線、都不共線三種情形）
2．62（提示：根據余角和對頂角知識解答）
3．65°（提示：根據入射角等于反射角及三角形內角和知識解答）
4．
5.95（提示：作EF//AB，根據平行線同旁內角及內錯角等知識解答）
6．∠B=∠D，或∠C=∠E，或AC=AE，答案不唯一（提示：可根據ASA、AAS、SAS等方法分析）
7．95°（提示：因為△OAD≌△OBC，所以∠D=∠C=20°，所以∠OAD=180°－（∠0＋∠D）=95°）
8．6（提示：根據直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半計算）
9．4（提示：將△ABC繞頂點A旋轉1800，點C落在C′處，則AC與AC′在同一直線上，且△AB′C′與△ABC全等，所以CC′=
10.
（提示：本題是一道規律探索題，由已知圖形可歸納出第n個等腰直角三角形的斜邊長為）
二、選擇題
11．C（提示：用一副三角板可畫出180度以內所有15度的整數倍的角，而145°不是15的整數倍）
12.C（提示：C根據內錯角相等，兩直線平行判定）
13．A（提示：因為AB∥CD，所以∠3=∠ABD，又∠1=∠2+∠ABD，所以∠1=∠2+∠3）
14．B（提示：因為AB=AC且BD=BC=AD，設∠A=x，所以∠A=∠ABD=x，∠BDC=∠BCD=∠ABC=2x，根據三角形內角和定理，∠A＋∠ABC＋∠BCD=180，即x＋2x＋2x=180，解得x=36）
15．A（提示：根據SAS，容易證明
，所以）
16．C（提示：連結BP，則有
，因為△ABC是等邊三角形，根據等積法，可證得）
17．C（提示：根據勾股定理，
，
，
）
18．C（提示：要求分成的四個圖案面積和形狀相同，所以各圖案應全等，第二種設計不合要求）
三、解答題
19．解：設
的長為
米，依題意得
．
，
∴
．
，
∴在
中，
．
∴
．即
．
答：梯子下滑0.5米．
20．（1）△是等邊三角形．證明如下：
△是等邊三角形，
．
又，
．
△
△
△
．
，即△是等邊三角形．
（2）成立．證明如下：
如圖，△是等邊三角形，
．
．
又△是等邊三角形，
．
．
．
同理
．
△△△．
．
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