北京市人大附中2007屆摸底考試數學試卷（理科）
命題人：羅 霞
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷 1至2頁，第II卷3至8頁，共150分，考試時間120分鐘.
第I卷（選擇題共40分）
注意事項： 1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、班級、學號寫在答題卡上；
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；
3．考試結束，將答題卡和第II卷3至8頁試卷一并交回.
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．設全集U=R，
是
（ ）
A．
B． 
C．
D．
2．在三角形ABC中
（ ）
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
3．若函數
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
4．給出下面的四個命題：
（1）兩個側面為矩形的四棱柱是直四棱柱；
（2）平行六面體
（3）若
（4）
.
其中正確的命題的個數是 （ ）
A． 1
B．
5．若
，則實數k的取值范圍是
（ ）
A. 0＜k＜
B . k＜
C .|k|＜ D.＜k＜1
6．設函數
的反函數為
,將
的圖像向左平移兩個單位，再關于
軸對稱后所得到的函數的反函數是
（ ）
A . y＝
B. y＝
C. y＝
D. y＝
7．從集合{1,2,3…，11}中任選兩個元素作為橢圓方程
中的m和n,則能組成落在矩形區域
內的橢圓個數為 （ ）
A．43 B．
8.某種游戲中，黑、黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD-A1B
+2段與第段所在直線必須成異面直線(其中是正整數).設黑“電子狗”爬完2006段、黃“電子狗”爬完2005段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、黃“電子狗”間的距離是
（ ）
A.0 B
D.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把最簡答案填在題中橫線上．
9．某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1 200輛，6 000輛和2 000輛．為檢驗該公司的產品質量，現用分層抽樣方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取____________，_______________，____________輛．
10．設函數
，若要使得函數
在
處連續，則應
．
11．在一個二面角的一個面內有一點，它到棱的距離等于它到另一個面的距離的2倍，則二面角的度數為 ．
12． 設
的展開式的各項系數之和為M，且二項式系數之和為N，M―N=992，則展開式中x2項的系數為 ．
13．一個四面體的所有棱長都為
，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為
．
14．讀下列命題，請把正確命題的序號都填在橫線上 .
①已知命題p與命題q，若p是q的充分不必要條件，則
是
的充分不必要條件；
②若函數
是偶函數，則函數
的圖象關于直線
對稱；
③函數
的圖象關于點（－1，－2）成中心對稱；
④已知
是定義在實數集上的函數，且
，若
，則
=
．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. （本題滿分12分）
已知集合
，并且滿足
求實數
的取值范圍．
16．（本小題滿分13分）
袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為
現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取球后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用
表示取球終止所需要的取球次數.
（I）求袋中所有的白球的個數；
（II）求隨機變量的概率分布；
（III）求甲取到白球的概率.
17．（本題滿分13分）
設函數＝
的圖象關于直線－
＝0對稱.
（1）求
的值；
（2）判斷并證明函數在區間（1，＋∞）上的單調性；
（3）若直線＝（∈R）與的圖象無公共點，且
＜2＋
，求實數
的取值范圍．
18. (本小題滿分14分)
如圖，四棱錐
中，
底面
,
且
，
與底面
成
角，點
分別是
的中點.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）當
為何值時，
，并請證明你的結論.
19.（本小題滿分14分）
若定義在區間D上的函數對于區間D上的任意兩個值
總有以下不等式
成立，則稱函數為區間D上的凸函數 .
（1）證明：定義在R上的二次函數
是凸函數；
（2）設
，并且
時，
恒成立，求實數的取值范圍，并判斷函數能否成為
上的凸函數；
（3）定義在整數集
上的函數滿足：①對任意的
，
；②
，
. 試求的解析式；并判斷所求的函數是不是上的凸函數說明理由.
20
（本小題滿分14分）
已知函數
，并且對于任意的
函數
的圖象恒經過點
.
(1)求數列
的通項公式；
(2)求
（用
表示）；
(3)求證：若
，則有
.
一．選擇題：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
B
A
B
D
二．填空題：
9．6、30、10；
10．?5；
11．
；
12．?250；
13．
；
14．③④
三．解答題：
15．解： 
； ………5分
方程
有非正實數根
綜上：
……………………12分16．解:(I)設袋中原有
個白球,由題意知
可得
或
(舍去)
答：袋中原有3個白球. 。。。。。。。。4分
(II)由題意,
的可能取值為1,2,3,4,5
所以的分布列為:
1
2
3
4
5
。。。。。。。。。9分
(III)因為甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件
,則
答：甲取到白球的概率為
.。。。。。。。。13分
17．解：（1）由
＝
.
＝
，∴
＝1；。。。。。。。。。4分
（2）任取
、
∈（1，＋∞），且設＜，則：
－
＝
＞0，
∴＝
在（1，＋∞）上是單調遞減函數；。。。。。。。。。8分
（3）當直線
＝
（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，
∴
＜2＋
＝4＝
，｜
－2｜＋
＞2，
得：＞
或＜．。。。。。。。。13分
18．（Ⅰ）證明：∵
底面
，
底面， ∴
又∵
且
平面
，平面，
，
∴
平面；
３分
（Ⅱ）解：∵點
分別是
的中點，
∴
，由（Ⅰ）知平面，
∴
平面，
∴
，
，
∴
為二面角
的平面角，
∵底面，∴
與底面所成的角即為
，
∴＝
，∵
為直角三角形斜邊的中點，
∴
為等腰三角形，且
，∴
；
（Ⅲ）過點
作
交
于點
，∵底面,
∴
底面,為直線
在底面上的射影，
要
，由三垂線定理的逆定理有要 
，
設
，則由
得
，
又∴在直角三角形
中，
，
∴
，
∵ 
∴
，
，
在直角三角形
中，
，
，即
時，．
（Ⅲ）以點
為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設
，則
，
，設
，則
則
，
，
,
，時
時，
.
19
證明：（1）對任意x1, x2∈R, 當 a
0,
有 
=
=
……（3分）
∴當
時，
，即
當時，函數f(x)是凸函數. ……（4分）
（2） 當x=0時, 對于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當x∈(0, 1]時, 要f(x)≤1恒成立
即
， ∴ 
恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ 
≥1, 當=1時, 
取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是
.
由此可知，滿足條件的實數a的取值恒為負數，由（1）可知函數f(x)是凸函數………10分
（3）令
則
，∵
，∴
，……………..(11)分
令
，則
，故
；
若
，則 
；，……………..(12)分
若
，則
∴
；∴
時，
.
綜上所述，對任意的，都有；……………..(13)分
所以，不是R上的凸函數. ……………..(14)分
對任意
，有
，
所以，不是
上的凸函數. ……………..(14)分
20. 解：（1）
設數列
的前項和為
，則
……….4分
（2）為偶數時，
為奇數時，
………9分
（3）方法1、因為
所以
當
，時，
，
時
又由
，兩式相減得
所以若
，則有
………..14分
方法2、由，兩式相減得
………..11分
所以要證明，只要證明
或①由：
所以
…………………14分
或②由：
…………………14分
數學歸納法：①當
當
②當
當
綜上①②知若，則有
.
所以，若，則有.。。。。。。。。。14分
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