第五單元：機械能
[內容和方法]
本單元內容包括功、功率、動能、勢能（包括重力勢能和彈性勢能）等基本概念，以動能定理、重力做功的特點、重力做功與重力勢能變化的關系及機械能守恒定律等基本規律。其中對于功的計算、功率的理解、做功與物體能量變化關系的理解及機械能守恒定律的適用條件是本單元的重點內容。
本單元中所涉及到的基本方法有：用矢量分解的方法處理恒力功的計算，這里既可以將力矢量沿平行于物體位移方向和垂直于物體位移方向進行分解，也可以將物體的位移沿平行于力的方向和垂直于力的方向進行分解，從而確定出恒力對物體的作用效果；對于重力勢能這種相對物理量，可以通過巧妙的選取零勢能面的方法，從而使有關重力勢能的計算得以簡化。
[例題分析]
在本單元知識應用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現在：“先入為主”導致解決問題的思路過于僵化，如在計算功的問題中，一些學生一看到要計算功，就只想到W= Fscosθ，而不能將思路打開，從W=Pt和W=ΔE等多條思路進行考慮；不注意物理規律的適用條件，導致亂套機械能守恒定律。
例1、 如圖3-1，小物塊位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力 [ ]
A．垂直于接觸面，做功為零
B．垂直于接觸面，做功不為零
C．不垂直于接觸面，做功為零
D．不垂直于接觸面，做功不為零
【錯解分析】錯解：斜面對小物塊的作用力是支持力，應與斜面垂直，因為支持力總與接觸面垂直，所以支持力不做功。故A選項正確。
斜面固定時，物體沿斜面下滑時，支持力做功為零。受此題影響，有些人不加思索選A。這反映出對力做功的本質不太理解，沒有從求功的根本方法來思考，是形成錯解的原因。
【正確解答】根據功的定義W=F?scosθ為了求斜面對小物塊的支持力所做的功，應找到小物塊的位移。由于地面光滑，物塊與斜面體構成的系統在水平方向不受外力，在水平方向系統動量守恒。初狀態系統水平方向動量為零，當物塊有水平向左的動量時，斜面體必有水平向右的動量。由于m＜M，則斜面體水平位移小于物塊水平位移。根據圖3-2上關系可以確定支持力與物塊位移夾角大于90°，則斜面對物塊做負功。應選B。
【小結】求解功的問題一般來說有兩條思路。一是可以從定義出發。二是可以用功能關系。如本題物塊從斜面上滑下來時，減少的重力勢能轉化為物塊的動能和斜面的動能，物塊的機械能減少了，說明有外力對它做功。所以支持力做功。
例2、 物體m從傾角為α的固定的光滑斜面由靜止開始下滑，斜面高為h，當物體滑至斜面底端，重力做功的瞬時功率為 [ ]
【錯解分析】錯解一：因為斜面是光滑斜面，物體m受重力和支持。支持不做功，只有策略重力做功，所有機械能守恒。設底端勢能為零，則有
錯解二：物體沿斜面做v0 = 0的勻加速運動a = mgsina
故選B。
錯解一中錯誤的原因是沒有注意到瞬時功率P = Fvcosθ。
只有Fv同向時，瞬時功率才能等于Fv，而此題中重力與瞬時速度V不是同方向，所以瞬時功率應注意乘上F，v夾角的余弦值。
錯解二中錯誤主要是對瞬時功率和平均功率的概念不清楚，將平均功率當成瞬時功率。
【正確解答】由于光滑斜面，物體m下滑過程中機械能守恒，滑至底
F、v夾角θ為90°－α，
故C選項正確。
【小結】 求解功率問題首先應注意求解的是瞬時值還是平均值。如果求瞬時值應注意普遍式P = Fv?cosθ（θ為F，v的夾角）當F，v有夾角時，應注意從圖中標明。
例3、 一列火車由機車牽引沿水平軌道行使，經過時間t，其速度由0增大到v。已知列車總質量為M，機車功率P保持不變，列車所受阻力f為恒力。求：這段時間內列車通過的路程。
【錯解分析】錯解：以列車為研究對象，水平方向受牽引力和阻力f。
據P=F?V可知牽引力
F = P/v ①
設列車通過路程為s，據動能定理有
以上錯解的原因是對P = F?v的公式不理解，在P一定的情況下，隨著v的變化，F是變化的。在中學階段用功的定義式求功要求F是恒力。
【正確解答】以列車為研究對象，列車水平方向受牽引力和阻力。設列車通過路程為s。據動能定理
【小結】 發動機的輸出功率P恒定時，據P = F?V可知v變化，F就會發生變化。牽動ΣF，a變化。應對上述物理量隨時間變化的規律有個定性的認識。下面通過圖象給出定性規律。（見圖3-4所示）
例4 、以20m/s的初速度，從地面豎直向上拋出一物體，它上升的最大高度是18m。如果物體在運動過程中所受阻力的大小不變，則物體在離地面多高處，物體的動能與重力勢能相等。(g=10m/s2)
【錯解分析】錯解：以物體為研究對象，畫出運動草圖3-5，設物體上升到h高處動能與重力勢能相等
此過程中，重力阻力做功，據動能定量有
物體上升的最大高度為H
由式①，②，③解得h = 9.5m
初看似乎任何問題都沒有，仔細審題，問物體離地面多高處，物體動能與重力勢相等，一般人首先是將問題變形為上升過程中什么位置動能與重力勢能相等。而實際下落過程也有一處動能與重力勢能相等。
【正確解答】上升過程中的解同錯解。
設物體下落過程中經過距地面h′處動能等于重力勢能，運動草圖如3-6。
據動能定量
解得h′=8.5m
【小結】在此較復雜問題中，應注意不要出現漏解。比較好的方法就是逐段分析法。
例5、 下列說法正確的是 [ ]
A．合外力對質點做的功為零，則質點的動能、動量都不變
B．合外力對質點施的沖量不為零，則質點動量必將改變，動能也一定變
C．某質點受到合力不為零，其動量、動能都改變
D．某質點的動量、動能都改變，它所受到的合外力一定不為零。
【錯解分析】錯解一：因為合外力對質點做功為零，據功能定理有△EA=0，因為動能不變，所以速度V不變，由此可知動量不變。故A正確。
錯解二：由于合外力對質點施的沖量不為零，則質點動量必將改變，V改變，動能也就改變。故B正確。
形成上述錯解的主要原因是對速度和動量的矢量性不理解。對矢量的變化也就出現理解的偏差。矢量發生變化時，可以是大小改變，也可能是大小不改變，而方向改變。這時變化量都不為零。而動能則不同，動能是標量，變化就一定是大小改變。所以△Ek=0只能說明大小改變。而動量變化量不為零就有可能是大小改變，也有可能是方向改變。
【正確解答】本題正確選項為D。
因為合外力做功為零，據動能定理有△Ek=0，動能沒有變化，說明速率無變化，但不能確定速度方向是否變化，也就不能推斷出動量的變化量是否為零。故A錯。合外力對質點施沖量不為零，根據動量定理知動量一定變，這既可以是速度大小改變，也可能是速度方向改變。若是速度方向改變，則動能不變。故B錯。同理C選項中合外力不為零，即是動量發生變化，但動能不一定改變，C選項錯。D選項中動量、動能改變，根據動量定量，沖量一定不為零，即合外力不為零。故D正確。
【小結】 對于全盤肯定或否定的判斷，只要找出一反例即可判斷。要證明它是正確的就要有充分的論據。
例6、 如圖3－7，木塊B與水平桌面間的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內，將彈簧壓縮到最短。現將子彈、木塊和彈簧合在一起作研究對象，則此系統在從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮到最短的過程中 [ ]
A．動量守恒，機械能守恒
B．動量不守恒，機械能不守恒
C．動量守恒，機械能不守恒
D．動量不守恒，機械能守恒
【錯解分析】錯解：以子彈、木塊和彈簧為研究對象。因為系統處在光滑水平桌面上，所以系統水平方向不受外力，系統水平方向動量守恒。又因系統只有彈力做功，系統機械能守恒。故A正確。
錯解原因有兩個一是思維定勢，一見光滑面就認為不受外力。二是規律適用條件不清。
【正確解答】以子彈、彈簧、木塊為研究對象，分析受力。在水平方向，彈簧被壓縮是因為受到外力，所以系統水平方向動量不守恒。由于子彈射入木塊過程，發生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系統機械能減少，也不守恒，故B正確。
例7、 如圖3-8，質量分別為m和2m的兩個小球A和B，中間用輕質桿相連，在桿的中點O處有一固定轉動軸，把桿置于水平位置后釋放，在B球順時針擺動到最低位置的過程中 [ ]
A．B球的重力勢能減少，動能增加，B球和地球組成的系統機械能守恒
B．A球的重力勢能增加，動能也增加，A球和地球組成的系統機械能不守恒。
C．A球、B球和地球組成的系統機械能守恒
D．A球、B球和地球組成的系統機械不守恒
【錯解分析】錯解：B球下擺過程中受重力、桿的拉力作用。拉力不做功，只有重力做功，所以B球重力勢能減少，動能增加，機械能守恒，A正確。
同樣道理A球機械能守恒，B錯誤，因為A，B系統外力只有重力做功，系統機械能守恒。故C選項正確。
B球擺到最低位置過程中，重力勢能減少動能確實增加，但不能由此確定機械能守恒。錯解中認為桿施的力沿桿方向，這是造成錯解的直接原因。桿施力的方向并不總指向沿桿的方向，本題中就是如此。桿對A，B球既有沿桿的法向力，也有與桿垂直的切向力。所以桿對A，B球施的力都做功，A球、B球的機械能都不守恒。但A+B整體機械能守恒。
【正確解答】B球從水平位置下擺到最低點過程中，受重力和桿的作用力，桿的作用力方向待定。下擺過程中重力勢能減少動能增加，但機械能是否守恒不確定。A球在B下擺過程中，重力勢能增加，動能增加，機械能增加。由于A+B系統只有重力做功，系統機械能守恒，A球機械能增加，B球機械能定減少。所以B，C選項正確。
【小結】 有些問題中桿施力是沿桿方向的，但不能由此定結論，只要桿施力就沿桿方向。本題中A、B球繞O點轉動，桿施力有切向力，也有法向力。其中法向力不做功。如圖3-9所示，桿對B球施的力對B球的做負功。桿對A球做功為正值。A球機械能增加，B球機械能減少。
例8、 如圖3－10，質量為M的木塊放在光滑水平面上，現有一質量為m的子彈以速度v0射入木塊中。設子彈在木塊中所受阻力不變，大小為f，且子彈未射穿木塊。若子彈射入木塊的深度為D，則木塊向前移動距離是多少？系統損失的機械能是多少？
【錯解分析】錯解：（1）以木塊和子彈組成的系統為研究對象。系統沿水平方向不受外力，所以沿水平方向動量守恒。設子彈和木塊共同速度為v。據動量守恒有mv0=（M＋m）v
解得v = mv0/(M+m)
子彈射入木塊過程中，摩擦力對子彈做負功
（2）系統損失的機械能
即為子彈損失的功能
錯解①中錯誤原因是對摩擦力對子彈做功的位移確定錯誤。子彈對地的位移并不是D，而D打入深度是相對位移。而求解功中的位移都要用對地位移。錯解②的錯誤是對這一物理過程中能量的轉換不清楚。子彈打入木塊過程中，子彈動能減少并不等于系統機械能減少量。因為子彈減少的功能有一部分轉移為木塊的動能，有一部轉化為焦耳熱。
【正確解答】以子彈、木塊組成系統為研究對象。畫出運算草圖，如圖3―11。系統水平方向不受外力，故水平方向動量守恒。據動量守恒定律有
mv0= (M+m)v (設v0方向為正)
子彈打入木塊到與木塊有相同速度過程中摩擦力做功：
由運動草圖可S木=S子－D ③
【小結】子彈和木塊相互作用過程中，子彈的速度由V0減為V，同時木塊的速度由0增加到V。對于這樣的一個過程，因為其間的相互作用力為恒力，所以我們可以從牛頓運動定律（即f使子彈和木塊產生加速度，使它們速度發生變化）、能量觀點、或動量觀點三條不同的思路進行研究和分析。類似這樣的問題都可以采用同樣的思路。一般都要首先畫好運動草圖。例：如圖3-12在光滑水平面上靜止的長木板上，有一粗糙的小木塊以v0沿木板滑行。情況與題中極其相似，只不過作用位置不同，但相互作用的物理過程完全一樣。
參考練習：如圖3-13一質量為M、長為l的長方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質量為m的小木塊A，m＜M。現以地面為參考系，給A和B以大小相同，方向相反的初速度，使A開始向左運動，B開始向右運動，但最后A剛好沒有滑離B板。求小木塊A向左運動到達最遠處（對地）離出發點的距離。
提示：注意分析物理過程。情景如圖3-14。其中隱含條件A剛好沒離B板，停在B板的左端，意為此時A，B無相對運動。A，B作用力大小相等，但加速度不同，由于A的加速度大，首先減為零，然后加速達到與B同速。
例9、 質量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時，彈簧的壓縮量為x0，如圖3-15所示。物塊從鋼板正對距離為3X0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動。已知物體質量也為m時，它們恰能回到O點，若物塊質量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度，求物塊向上運動到最高點與O點的距離。
【錯解分析】錯解：物塊m從A處自由落下，則機械能守恒
設鋼板初位置重力勢能為0，則
之后物塊與鋼板一起以v0向下運動，然后返回O點，此時速度為0，運動過程中因為只有重力和彈簧彈力做功，故機械能守恒。
2m的物塊仍從A處落下到鋼板初位置應有相同的速度v0，與鋼板一起向下運動又返回機械能也守恒。返回到O點速度不為零，設為V則：
（3）
因為m物塊與2m物塊在與鋼板接觸時，彈性勢能之比
2m物塊與鋼板一起過O點時，彈簧彈力為0，兩者有相同的加速度g。之后，鋼板由于被彈簧牽制，則加速度大于g，兩者分離，2m物塊從此位置以v為初速豎直上拋上升距離
這是一道綜合性很強的題。錯解中由于沒有考慮物塊與鋼板碰撞之后速度改變這一過程，而導致錯誤。另外在分析物塊與鋼板接觸位置處，彈簧的彈性勢能時，也有相當多的人出錯，兩個錯誤都出時，會發現無解。這樣有些人就返回用兩次勢能相等的結果，但并未清楚相等的含義。
【正確解答】物塊從3x0位置自由落下，與地球構成的系統機械能守恒。則有
v0為物塊與鋼板碰撞時的的速度。因為碰撞極短，內力遠大于外力，鋼板與物塊間動量守恒。設v1為兩者碰撞后共同速
mv0=2mv1 (2)
兩者以vl向下運動恰返回O點，說明此位置速度為零。運動過程中機械能守恒。設接觸位置彈性勢能為Ep，則
同理2m物塊與m物塊有相同的物理過程
碰撞中動量守恒2mv0=3mv2 (4)
所不同2m與鋼板碰撞返回O點速度不為零，設為v則
因為兩次碰撞時間極短，彈性形變未發生變化
Ep=E'p (6)
由于2m物塊與鋼板過O點時彈力為零。兩者加速度相同為g，之后鋼板被彈簧牽制，則其加速度大于g，所以與物塊分離，物塊以v豎直上拋。
【小結】 本題考查了機械能守恒、動量守恒、能量轉化的。守恒等多個知識點。是一個多運動過程的問題。關鍵問題是分清楚每一個過程。建立過程的物理模型，找到相應解決問題的規律。彈簧類問題，畫好位置草圖至關重要。
參考練習：如圖3-16所示勁度系數為k1的輕質彈簧分別與質量為m1，m2的物體1，2，栓接系數為k2的輕彈簧上端與物體2栓接，下端壓在桌面上（不栓接）。整個系統處于平衡狀態，現施力將物體1緩慢地豎直上提，直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面，在此過程中，物體2的重力勢能增大了多少？物體1的重力勢能增大了多少？
提示：此題隱含的條件很多，挖掘隱含條件是解題的前提。但之后，必須有位置變化的情景圖如圖3-17。才能確定1，2上升的距離，請讀者自行解答。
例10、 如圖3-18所示，輕質彈簧豎直放置在水平地面上，它的正上方有一金屬塊從高處自由下落，從金屬塊自由下落到第一次速度為零的過程中 [ ]
A．重力先做正功，后做負功
B．彈力沒有做正功
C．金屬塊的動能最大時，彈力與重力相平衡
D．金屬塊的動能為零時，彈簧的彈性勢能最大
【錯解分析】錯解：金屬塊自由下落，接觸彈簧后開始減速，當重力等于彈力時，金屬塊速度為零。所以從金屬塊自由下落到第一次速度為零的過程中重力一直做正功，故A錯。而彈力一直做負功所以B正確。因為金屬塊速度為零時，重力與彈力相平衡，所以C選項錯。金屬塊的動能為零時，彈力最大，所以形變最大，彈性勢能最大。故D正確。
形成以上錯解的原因是對運動過程認識不清。對運動性質的判斷不正確。金屬塊做加速還是減速運動，要看合外力方向（即加速度方向）與速度方向的關系。
【正確解答】要確定金屬塊的動能最大位置和動能為零時的情況，就要分析它的運動全過程。為了弄清運動性質，做好受力分析。可以從圖3-19看出運動過程中的情景。
從圖上可以看到在彈力N＜mg時，a的方向向下，v的方向向下，金屬塊做加速運動。當彈力N等于重力mg時，a = 0加速停止，此時速度最大。所以C選項正確。彈力方向與位移方向始終反向，所以彈力沒有做正功，B選項正確。重力方向始終與位移同方向，重力做正功，沒有做負功，A選項錯。速度為零時，恰是彈簧形變最大時，所以此時彈簧彈性勢能最大，故D正確。
所以B，C，D為正確選項。
【小結】 對于較為復雜的物理問題，認清物理過程，建立物理情景是很重要的。做到這一點往往需畫出受力圖，運動草圖，這是應該具有的一種解決問題的能力。分析問題可以采用分析法和綜合法。一般在考試過程中分析法用的更多。如本題A，B只要審題細致就可以解決。而C，D就要用分析法。C選項中動能最大時，速率最大，速率最大就意味著它的變化率為零，即a = 0，加速度為零，即合外力為零，由于合外力為mg－N，因此得mg =N，D選項中動能為零，即速率為零，單方向運動時位移最大，即彈簧形變最大，也就是彈性勢能最大。本題中金屬塊和彈簧在一定時間和范圍內做往復運動是一種簡諧運動。從簡諧運動圖象可以看出位移變化中速度的變化，以及能量的關系。
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