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精析精練

---------常用邏輯用語

典例分析:

一. 邏輯聯結詞、簡單命題與復合命題

例1.寫出由下述各命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題，并指出所構成的這些復合命題的真假.

（1）p：9是144的約數，q：9是225的約數。

（2）p：方程x²－1=0的解是x=1，q：方程x²－1=0的解是x=－1；

（3）p：實數的平方是正數，q：實數的平方是0.

分析:由簡單命題構成復合命題時,若兩個命題屬于同時都要滿足的為“且”，屬于并列的為“或”.然后通過“或”、“且”、“非”命題的真值表判斷各命題的正誤.

解析:（1）p或q：9是144或225的約數；p且q：9是144與225的公約數，（或寫成：9是144的約數，且9是225的約數）；非p：9不是144的約數.

∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q” 為真，而“非p”為假.

（2）p或q：方程x²－1=0的解是x=1,或方程x²－1=0的解是x=－1（注意，不能寫成“方程x²－1=0的解是x=±1”，這與真值表不符）；p且q：方程x²－1=0的解是x=1,且方程x²－1=0的解是x=－1；非p：方程x²－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應理解為“都是”的意思）；

∵p假，q假，∴“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真.

（3）p或q：實數的平方都是正數或實數的平方都是0； p且q：實數的平方都是正數且實數的平方都是0；非p：實數的平方不都是正數，（或：存在實數，其平方不是正數）；

∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真.

點評: “p或q”是指p,q中的任何一個或兩者.例如，“xA或xB”，是指x可能屬于A但不屬于B（這里的“但”等價于“且”），x也可能不屬于A但屬于B，x還可能既屬于A又屬于B（即xAB）；“p且q”是指p,q中的兩者.例如，“xA且xB”，是指x屬于A，同時x也屬于B（即xAB）.“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“xA”，則“非p”表示x不是集合A的元素（即x）

二.四種命題及其相互關系

例2. （1）“若，則沒有實根”，其否命題是 .

（2）判斷命題：“對于實數、，若＋≠8，則≠2或≠6”的真假.

分析:書寫命題的幾種形式時,要分清條件與結論,依據定義書寫;對于直接較難判斷真假的命題可依據命題間的等價關系進行轉化解答.

解析:（1）否命題為:若，則有實根

（2）本題若直接判斷,很難確定＋≠8是否能推出≠2或≠6，若利用原命題與逆否命題等價這一結論，可使本題的解題思路清晰，步驟簡潔,原命題的逆否命題為：若=2且=6則＋=8。而我們容易知道，當=2且=6時＋=8 成立.∴原命題的逆否命題為真，則原命題為真。

點評:在書寫命題的幾種形式或判斷命題的真假時要注意如下幾方面:（1）若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若?p 則?q” ；逆否命題為“若?q 則?p”;（2）在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或”;（3）要注意區別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；（4）對于條件或結論是不等關系或否定式的命題，一般利用等價關系“”判斷其真假，這也是反證法的理論依據。

三.充要條件

例3.在下列四個結論中，正確的有________.(填序號)

①若A是B的必要不充分條件，則非B也是非A的必要不充分條件

②“”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件

③“x≠1”是“x²≠1”的充分不必要條件

④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分條件

分析:關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。

解析: ①∵原命題與其逆否命題等價，∴若A是B的必要不充分條件，則非B也是非A的必要不充分條件. ②結合二次函數的圖象易知命題是正確的；③x≠1x²≠1，反例：x=-1x²=1，∴“x≠1”是“x²≠1”的不充分條件. ④x≠0x+|x|＞0，反例x=-2x+|x|=0.但x+|x|＞0x＞0x≠0,∴“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分條件.答案:①②④

點評:判斷充要條件關系有三種方法：

①定義法：若，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若，則A是B的充要條件。

②利用原命題和逆否命題的等價性來確定 “若A，則B”及“若B，則A”的真假性。

③利用集合的包含關系：若則A是B的充分條件，B是A的必要條件；

若A=B，則A是B的充要條件。

鞏固練習

基礎驗收

1.p:“有些三角形是等腰三角形”，則┐p是（）

A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形

C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形

2.若集合，，則“”是“”的

A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件．

3.原命題：“設、、，若則”的逆命題、否命題、逆否命題真命題共有：（）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

4.設命題p：若. 給出下列四個復合命題：

①p或q；②p且q；③p；④q,其中真命題的個數有（）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

5.在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數可以是（）

（A）1或2或3或4 （B）0或2或4

（C）1或3 （D）0或4

6..下列四個命題中真命題是

①“若xy=1，則x、y互為倒數”的逆命題 ②“面積相等的三角形全等”的否命題 ③“若m≤1，則方程x²－2x+m=0有實根”的逆否命題 ④“若A∩B=B，則AB”的逆否命題

A.①② B.②③ C.①②③ D.③④

7.已知真命題“”和“”, 那么“”是“”的( )

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

8.若命題“非p”與命題“p或q”都是真命題，那么（）

A．命題p與命題q的真值相同 B．命題q一定是真命題

C. 命題P一定是真命題 D.無法確定

9.若與都是非零向量，則“”是“”的( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D.既不充分也不必要條件

10.命題“a、b都是偶數，則a+b是偶數”的逆否命題為

A.a+b不是偶數，則a、b不都是偶數B.a+b不是偶數，則a、b都不是偶數

C.a、b不都是偶數，則a+b不是偶數D.a、b都不是偶數，則a+b不是偶數

11.使不等式2x²－5x－3≥0成立的一個充分而不必要條件是（）

A.x＜0 B.x≥0 C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3

12.若已知A是B的充分條件，C是D的必要條件，而B是D的充要條件，則D是C的_______條件；D是A的_______條件；A是C的_______條件，D是B的_______條件.

13．有下列四個命題：

①命題“若，則，互為倒數”的逆命題②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題；

③命題“若≤1，則有實根”的逆否命題④命題“若∩=，則”

的逆否命題其中是真命題的是（填上你認為正確命題的序號）

14.指出下列復合命題的形式及其構成.

（1）若α是一個三角形的最小內角，則α不大于60°；

（2）一個內角為90°，另一個內角為45°的三角形是等腰直角三角形；

（3）有一個內角為60°的三角形是正三角形或直角三角形.

15.若a、b、c∈R，寫出命題“若ac＜0，則ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假.

16.已知：命題：，命題：，若是的充分不必要條件，求的取值范圍。

17.設命題：函數的定義域為；命題：不等式對一切正實數均成立．如果命題“或”與命題“且”的真假性不同，求實數的取值范圍．

挑戰高考

18.（07山東理7）命題“對任意的，”的否定是（）

A．不存在，B．存在，

C．存在， D．對任意的，

19.（06江西卷）下列四個條件中，是的必要不充分條件的是（　　）

Ａ，Ｂ,

Ｃ為雙曲線,Ｄ,

20.(07重慶)命題“若，則”的逆否命題是（　　）

Ａ．若，則或Ｂ．若，則

Ｃ．若或，則Ｄ．若或，則

21.（07湖南文）設（），關于的方程（）有實根，則是的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

22.(06?湖北)有限集合中元素的個數記做，設都為有限集合，給出下列命題：①的充要條件是；

②的必要條件是；③的充分條件是；

④的充要條件是；其中真命題的序號是( )

A．③④ B．①② C．①④ D．②③

23.（07全國卷1），是定義在上的函數，，則“，均為偶函數”是“為偶函數”的（　　）

Ａ充要條件Ｂ充分而不必要的條件Ｃ必要而不充分的條件Ｄ既不充分也不必要的條件

24.（07湖北）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件。現有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；⑤是的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（）

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

25.下列各小題中，是的充分必要條件的是

①有兩個不同的零點

②是偶函數③

④

A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

鞏固練習答案部分

基礎驗收

1.答案C;解析:本題屬存在性命題的否定命題,一般地若命題p：“存在使P（x）成立”，┐p為：“對任意,有不成立”.

2.答案:A;解析:據定義判斷.

3.答案:B;解析:若,則,即原命題正確; 而若,則,不一定成立(不成立),即得其逆命題為假命題.∴逆否命題為真命題,否命題為假命題,真命題共的1個,故應選B.

4.答案:C;解析:命題p:若為假命題,因為中有一個為0,則此命題就是不成立;命題也是假命題.則①為假命題;②為假命題;③為真命題;④真命題;綜上所述,其中真命題有2個,故選C.

5.答案:B;解析:結合命題的等價關系進行判斷．

6.答案:C;解析:寫出滿足條件的命題再進行判斷.

7.答案:A;解析:轉化為逆否命題進行判斷.

8.B;解析:據已知易知P假,q一定真.

9.答案:C;解析:由于為非零向量，故.故應選C.

10.答案: A;解析:命題“a、b都是偶數，則a+b是偶數”的逆否命題為“a+b不是偶數，則a、b不都是偶數”

11.答案:C;解析：∵2x²－5x－3≥0成立的充要條件是x≤－或x≥3,只需已知范圍對應的集合是此不等式的解集的真子集即可.

12.答案:充分、必要、充分、充要;解析:ABDC， D是C的充分條件，D是A的必要條件，A是C的充分條件，D是B的充要條件.

13答案:①②③;解析:依次寫出再作出判斷.

14.解析:（1）是非p形式的復合命題，其中p:若α是一個三角形的最小內角，則α＞60°.

（2）是p且q形式的復合命題，其中p:一個內角為90°，另一個內角為45°的三角形是等腰三角形，q:一個內角為90°，另一個內角為45°的三角形是直角三角形.

（3）是p或q形式的復合命題，其中p:有一個內角為60°的三角形是正三角形，q：有一個內角為60°的三角形是直角三角形.

15.解：逆命題“若ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）有兩個不相等的實數根，則ac＜0”是假命題，如當a=1，b=－3，c=2時，方程x²－3x+2=0有兩個不等實根x₁=1，x₂=2，但ac=2＞0.

否命題“若ac≥0，則方程ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）沒有兩個不相等的實數根”是假命題.這是因為它和逆命題互為逆否命題，而逆命題是假命題.

逆否命題“若ax²+bx+c=0（a、b、c∈R）沒有兩個不相等的實數根，則ac≥0”是真命題.因為原命題是真命題，它與原命題等價

16.分析：因為是的充分不必要條件，即，由逆否命題與原命題等價，得，使已知條件簡單化。

解析:由得，從而，所以命題：Ａ=；由得，所以命題：，

∵ ，∴，即，∴，∴，又∵

∴

17.命題為真命題等價于對恒成立．當時，則矛盾．故,即得.命題為真命題等價于對一切正實數均成立．而當時，，所以.因為命題“或”與命題“且”的真假性不同，則必有：命題“或”為真，命題“且”為假．所以，命題與有且僅有一個真命題.當真假時，則實數的取值范圍為,當真假時，則實數的取值范圍為．綜合以上得，所求實數的取值范圍為.