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2009年高考數學壓軸題系列訓練含答案及解析詳解三

1．（本小題滿分13分）

  如圖，已知雙曲線C：的右準線與一條漸近線交于點M，F是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點.

    （I）求證：；

    （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；

    （III）在（II）的條件下，直線過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數方法給出證明.

解：（I）右準線，漸近線

    ，

                     ……3分

    （II）

雙曲線C的方程為：               ……7分

    （III）由題意可得                           ……8分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

    證明：設，點

    由得

    與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q

                                ……11分

    ，得

的取值范圍是（0，1）                            ……13分

2（本小題滿分13分）

已知函數，

數列滿足

    （I）求數列的通項公式；

    （II）設x軸、直線與函數的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求；

    （III）在集合，且中，是否存在正整數N，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數N共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數N；若不存在，請說明理由.

    （IV）請構造一個與有關的數列，使得存在，并求出這個極限值.

解：（I）

                          ……1分

    ……

    將這n個式子相加，得

                          ……3分

    （II）為一直角梯形（時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為，高為1

                                         ……6分

    （III）設滿足條件的正整數N存在，則

    又

    均滿足條件

    它們構成首項為2010，公差為2的等差數列.

    設共有m個滿足條件的正整數N，則，解得

    中滿足條件的正整數N存在，共有495個，        ……9分

    （IV）設，即

    則

    顯然，其極限存在，并且       ……10分

    注：（c為非零常數），等都能使存在.

19. （本小題滿分14分）

    設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2.

    （I）求此雙曲線的漸近線的方程；

    （II）若A、B分別為上的點，且，求w.w.w.k.s.5.u.c.o.m線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；

（III）過點能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點，且.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

解：（I）

    ，漸近線方程為               4分

    （II）設，AB的中點

    則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓.（9分）

    （III）假設存在滿足條件的直線

    設

    由（i）（ii）得

    ∴k不存在，即不存在滿足條件的直線.               14分

3. （本小題滿分13分）

    已知數列的前n項和為，且對任意自然數都成立，其中m為常數，且.

    （I）求證數列是等比數列；

    （II）設數列的公比，數列滿足：

，試問當m為何值時，

成立？

解：（I）由已知

        （2）

    由得：，即對任意都成立

    （II）當時，

    由題意知，                        13分

4．（本小題滿分12分）

設橢圓的左焦點為，上頂點為，過點與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸于，兩點，且分向量所成的比為8∶5．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程．

解：（1）設點其中．

由分所成的比為8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分

∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分

而，

∴．．②，　　　　　　　　　　　5分

由①②知．

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

（2）滿足條件的圓心為，

，　　　　　　　　　　　　　　8分

圓半徑．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

由圓與直線：相切得，，

又．∴橢圓方程為．　　　　12分

5．（本小題滿分14分）

（理）給定正整數和正數，對于滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差．

（文）給定正整數和正數，對于滿足條件的所有無窮等差數列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差．

（理）解：設公差為，則．　　3分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

又．

∴，當且僅當時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　　　　　　13分

當數列首項，公差時，，

∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　14分

（文）解：設公差為，則．　　　3分

，　　　　　　　　　　　6分

又．

∴．

當且僅當時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分

∴．　　　　　　　　　　　　　13分

當數列首項，公差時，．

∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

6．（本小題滿分12分）

垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點，A₁、A₂分別為雙曲線的左頂點和右頂點，設直線A₁M與A₂N交于點P（x₀，y₀）

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）過P作斜率為的直線l，原點到直線l的距離為d，求d的最小值.

解（Ⅰ）證明：

　　　　①

直線A₂N的方程為    ②……4分

①×②，得

（Ⅱ）

……10分

當……12分

7．（本小題滿分14分）

    已知函數

       （Ⅰ）若

       （Ⅱ）若

       （Ⅲ）若的大小關系（不必寫出比較過程）.

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）設，

……6分

（Ⅲ）在題設條件下，當k為偶數時

當k為奇數時……14分