重慶市十二校2OO9年高三第一次質量調研抽測試卷
數學（理科）試題 2009.03
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。
第I卷（選擇題，共50分）
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題5分，共50分）在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．函數
的最小正周期為（
）
A. 
B.
C.
D.
2.已知全集
集合
則
（
）
A.
B.
C. 
D.
3. 函數
的反函數為（
）
A.
B. 
C. 
D.
4．若
且
則
是
的（
）
A.充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5．將直線
繞原點逆時針旋轉
得直線
，則直線到直線
的角為（ ）A.
B. C.
D. 
6. 已知點P在拋物線
上，且點P到
軸的距離與點P到焦點的距離之比為
，則點P到軸的距離為（
）
A.
B. 
D.2
7.將函數
的圖象按向量
平移得到
的圖象，那么函數
可以是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
8．若點P為共焦點的橢圓
和雙曲線
的一個交點,
、
分別是它們的左右焦點.設
橢圓離心率為
，雙曲線離心率為
，若
,則
（
）
A.1
B.
9.在平行四邊形
中，
與
相交于
點.若
則
（
）
A. 
B.
C.
D.
10．如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標分別對應數列
的前12項，如下表所示：
按如此規律下去，則
（
）
A.1003 B.1005
C.1006 D.2011
第II卷（非選擇題，共100分）
二．填空題：（本大題共6小題，每小題4分，共24分）將每小題正確的答案填在相應的橫線上.
11．函數
的定義域是________________________.
12.方程
表示圓，則
的取值范圍是_______________;
13.已知數列
是等比數列，且
則
14.已知實數
滿足
，如果目標函數
的最大值為2，則實數
;
15.定義在實數集R上的偶函數滿足
.當
時，
，則
時，
；
16．如圖，以AB為直徑的圓有一內接梯形，
且
.若雙曲線以A、B為焦點，且過
C、D兩點，則當梯形的周長最大時，雙曲線的
離心率為___________________.
三、解答題：（本大題共6小題，共76分）. 解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17．（13分）已知
若
（I）求函數的單調減區間；
（II）若
求函數的最大值和最小值.
18. （13分）設數列滿足
（I）求數列的通項；
（II）設
求數列
的前
項和
.
19．（13分）某廠家擬在2009年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用
萬元滿足
。如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件.已知2009年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的
倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分）.
（I）將該廠家2009年該產品的利潤
萬元表示為年促銷費用
萬元的函數；
（II）該廠家2009年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？
20．（13分）已知
.
（I）當
時，解不等式
；
（II）當
時，
恒成立，求實數
的取值范圍.
21. （12分）已知點
、
和動點
滿足：
, 且存在正常數，使得
（I）求動點的軌跡
的方程；
（II）設直線
與曲線相交于兩點
、
,且與軸的交點為
.若
求的值.
22. （12分）設函數
（、
為實常數），已知不等式
對任意的實數均成立.定義數列和：
＝
數列的前項和.
（I）求、的值；
（II）求證：
（III ）求證：
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題5分，共50分）
1--5 BDDCA 6--10 ACBCB
二．填空題：（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
;
12.
; 13. 
; 14. 
;
;
三、解答題：（本大題共6小題，共76分）.
17.(13分)
解：（I）
………………………(6分)
函數
的單調減區間為
……………………(7分)
（II）
則
……………(11分)
函數的最大值為
，最小值為
.…………………………(13分)
18.(13分)
解：（I）
①
當
時，
②
將①－②得
…………………(4分)
在①中，令
得
………………………………………………(6分)
（II）由
得
則當
時，
………(8分)
當時, 
……………………(9分)
則
……………(12分)
又
…………………………………………(13分)
19.(13分)
解：（I）由題意有
，得
，故
（II）由（I）知：
……(11分)
當且僅當
即
時，
有最大值.
答: 2009年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大. …………(13分)
20.(13分)
解：（I）
時，
，即
（※）
(1)當
時，由（※）
又，
………………………………………………(2分)
(2)當
時，由（※）
又，
………………………………………(4分)
(3)當
時，由（※）
又，
………………………………………………(6分)
綜上：由（1）、（2）、（3）知原不等式的解集為
……………(7分)
（II）當
時，
,即
恒成立，
也即
在上恒成立。…………………(10分)
而
在
上為增函數，故
當且僅當
即
時，等號成立.
故
………………………………………………… (13分)
21.(12分)
解：（I）在
中，由余弦定理得
(1分)
………(4分)
，即動點
的軌跡為以A、B為兩焦點的橢圓.
動點的軌跡
的方程為：
.…………………………
(6分)
（II）由
得
.（※）… (7分)
設
、
，易知
，則
①
②…………………………………………………(8分)
又
③…………………………………………… (10分)
將③代入①、②得
消去
得
或
，代入（※）方程
.故…………… (12分)
22.(12分)
解：（I）由
得
故
………………………………(2分)
（II）由
得
…………(4分)
從而
即
…………………………………………………(6分)
（III ）由
得
設
,則
且
于是
…………………………………(8分)
設
則
且
……………(10分)
從而時，
當時，
……………………………………………(12分)
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