杭十四中二??八學年第二學期期中考試
高二年級數學（理科）試卷
一、選擇題 (本大題共10小題, 每小題3分, 共30分． 在每小題給出的四個選項中, 有且只有一項是符合題目要求的 )
1．下列各組向量中不平行的是
A．
B．
C．
D．
2．已知點
，則點A關于x軸對稱的點的坐標為
A．
B．
C．
D．
3．若向量
，且
與
的夾角余弦為
，則
等于
A．
B．
C．
或
D．
或
4．若A
，B
，當
取最小值時，
的值等于
A．
B．
C．
D．
5．設隨機變量
服從標準正態分布
，在某項測量中，已知在
內取值的概率為0.025，則
=
A．0.025 B．
6．若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則切線l的方程為
A．
B．
C．
D．
7．已知實數
成等比數列，且曲線
的極大值點坐標為
，則
等于
A．2 B．
D．
8．設
、
是
上的可導函數，
、
分別為、的導函數，且
，則當
時，有
A．
B．
C．
D．
9．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為
，得2分的概率為
，不得分的概率為
（、、
），已知他投籃一次得分的數學期望為2（不計其它得分情況），則
的最大值為
A．
B．
C．
D．
10．已知函數
，且
，
的導函數，函數
的圖象如圖所示．
則平面區域
所圍成的面積是
A．2 B．
二、填空題（本大題有7小題, 每小題4分,共28分． 請將答案填寫在答題卷中的橫線上．）
11．若向量
，則
__________________．
12．計算
．
13．已知向量
，若
，則
______．
14．已知
，則
的值分別是
， ．
15．已知曲線
在
點處的切線與曲線
在點處的切線互相平行，則
的值為
．
16．如右圖所示，函數
的圖象在點P處的切線方程是
，則
，
．
17．已知空間四邊形OABC，點M，N分別為OA，BC的中點，且
，
，
用，，
表示
，則
__________．
三、解答題（本大題有4小題，前三小題10分，最后一小題12分，共42分）
18．已知函數
，當
時，
的極大值為7；當
時，有極小值．求：
（1）
的值；
（2）函數的極小值．
19．一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，繼續再取一個零件，直到取得正品為止．設取得正品之前已取出的次品數為
，求的分布列及的期望．
20．一個四棱錐
的正視圖是邊長為2的正方形及其一條對角線，側視圖和俯視圖是全等的等腰直角三角形，直角邊長為2，直觀圖如圖。
（1）求二面角C―PB―A大小；
（2）
為棱PB上的點，當PM長為何值時，
 |
|||
 |
|||
21．已知函數
（1）若函數
的圖象上有與軸平行的切線，求參數
的取值范圍；
（2）若函數在
處取得極值，且
時，
恒成立，求參數
的取值范圍．
四、附加題（每小題10分，共20分）
22．已知函數
，其中
．
（1）若在
時存在極值，求的取值范圍；
（2）若在
上是增函數，求的取值范圍．
23．如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝
，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形
（1）求證：AD^BC；
（2）求二面角B－AC－D的大小
（3）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。
命題：許國華 校對：許國華
一．選擇題
D A C C C A A C D B
二．填空題
11．32 12. 6 13. 
14. 10 ，0.8 15. 
或
16.3，－1
17. 
三．解答題
18．解：（1）
而
是極值點，所以
解之得：
又
，故得
（2）由（1）可知
而
是它的極小值點，所以函數
的極小值為－25.
19．解：，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3
P（ξ=0）=
，P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
Eξ=
20．解（1）如圖，以D為坐標原點，分別以
所在直線為
點為E，則
是平面PBC的法向量；設AP中點為F，同理
可知
是平面PAB的法向量。知是平面
的法向量。
，
設二面角
，顯然
所以
二面角
大小為
；…
（2）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），
共線，
可設
的長為
時，
21．解：（1）
依題意，知方程
有實根，所以
得
（2）由函數在
處取得極值，知是方程的一個根，所以
， 方程的另一個根為
因此，當
，當
所以，
和
上為增函數，在
上為減函數，
有極大值
，
又
恒成立，
四．附加題
22．解：由
（1）①當
不存在極值
②當
恒成立
不存在極值a的范圍為
存在極值a的范圍為
（2）由
恒成立
①當
恒成立 ∴a=0，
②當
③當
1．若
2．若
為單減函數
綜上：①②③得：
上為增函數， 
23．解法一：（1）方法一：作
面
于
，連
．
．
．
又
，則
是正方形．
則
．
方法二：取
的中點
，連
，
則有
．
面
，
．
（2）作
于
，作
交
于
，
則
就是二面角
的平面角．
，
是
的中點，且
．
則
．
由余弦定理得
，
．
（3）設
為所求的點，作
于
，連
．
則
，
面
就是
與面所成的角，則
．
設
，易得
，則
，
．
，解得
，則
．
故線段上存在點，且
時，與面成
角．
解法二：
（1）作面于，連
，則四邊形是正方形，且
，
以
為原點，以
為
軸，
為
軸建立空間直角坐標系如圖，
則
．
，
，則
．
（2）設平面
的法向量為
，
則由
知：
；
同理由
知：
．
可取
．
同理，可求得平面
的一個法向量為
．
由圖可以看出，二面角的大小應等于
則
，即所求二面角的大小是
．
（3）設
是線段上一點，則
，
平面的一個法向量為
，
，
要使與面成角，由圖可知
與
的夾角為
，
所以
．
則
，解得，，則．
故線段上存在點，且時，與面成角．
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