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解得a=1,b=3

（2）

6.（本小題滿分12分）

已知直線相交于A、B兩點，M是線段AB上的一點，，且點M在直線上.

   （Ⅰ）求橢圓的離心率；

   （Ⅱ）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.

6.解：（Ⅰ）由知M是AB的中點，

設A、B兩點的坐標分別為

由

，

∴M點的坐標為                                

又M點的直線l上：

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為關于直線l：

上的對稱點為，

則有                      

由已知

，∴所求的橢圓的方程為                      

7.已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，

而的左、右頂點分別是的左、右焦點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，且（其

中O為原點），求的范圍

7．解：（1）設雙曲線的方程為 

則，再由得，

故的方程為    

（2）將代入

得  

由直線與雙曲線C₂交于不同的兩點得：

且①            

設，則

又，得

即，解得：②        

由①、②得：

故k的取值范圍為 

8．（本小題滿分13分）

已知拋物線C的一個焦點為F（，0），對應于這個焦點的準線方程為x=-.

（1）寫出拋物線C的方程；

（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程；

（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點分別是M，N.當P點在何處時，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

解：（1）拋物線方程為：y²=2x.                                       

（2）①當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k(x-)，代入y²=2x，

得：k²x²-(k²+2)x+.

設A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，則x₁+x₂=，y₁+y₂=k(x₁+x₂-1)=.

設△AOB的重心為G（x，y）則，

消去k得y²=為所求，                                  

②當直線垂直于x軸時，A（，1），B（，-1），                

△AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.

綜合①②得，所求的軌跡方程為y²=，                      

（3）設已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，

根據圓的性質有：|MN|=2.    

當|PQ|²最小時，|MN|取最小值，

設P點坐標為(x₀，y₀)，則y=2x₀.

|PQ|²=（x₀-3）²+ y= x-4x₀+9=(x₀-2)²+5，

∴當x₀=2，y₀=±2時，|PQ|²取最小值5，

故當P點坐標為（2，±2）時，|MN|取最小值.                     

9．（本題滿分14分）已知圓，直線 ，與圓交與兩點，點

。

（1）當時，求的值；   （2）當時，求的取值范圍。

9.解：（1）圓的方程可化為，故圓心為，半徑

當時，點在圓上，又，故直線過圓心，∴……

  從而所求直線的方程為                     

（2）設由得

             即

∴            ①        

聯立得方程組，化簡，整理得

            ………….(*)

由判別式得且有。。

代入 ①式整理得,從而，又

∴可得k的取值范圍是。。

10．（本小題滿分14分）已知△ABC三頂點分別為A（－3，0），B（3，0），C（x，y）.

   （1）當BC邊上的高所在直線過點D（0，2）時，求點C的軌跡方程；

   （2）△ABC的周長為16時，點C在以A，B為焦點的橢圓上，求橢圓方程；

   （3）若斜率為k的直線與（2）中的橢圓交于不同的兩點M，N，求證：當直線平行移動時MN的中點恒在一條過原點的直線上.

解：10．（1）A（－3，0），B（3，0），D（0，2），C（x，y）

    則＝（3，2），=（x－3，y）

    由得3（x－3）+2y=0

    ∴C點的軌跡方程為3x+2y－9=0

   （2）三角形周長等于16，則|AC|+|BC|=2a=10

    a=5，c=3，b=4，橢圓

   （3）設斜率為k的直線方程為y=kx+m，

    則由得（16+25k²）x²+50km+25m²－400=0

    △>0時設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點G（x，y）

    由有x₁+x₂=

    y ₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=

    ∴（k為常數，m為參數）

    ∴G點軌跡方程為

    即y=－， 當k=0時，G點的軌跡為y軸所在的線段；

    當k≠0時，G點軌跡方程y=－

    即當直線平行移動時，MN的中點恒在一條過原點的直線上。