安徽省安慶一中2009年高三第二學期高考模擬試卷（四）
數學（理科）
（時間：120分鐘 滿分：150分 ）
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1.若集合
,
,那么
---------------( ▲ )
A.
B.
C.
D.
2.復數
----------------------------------------------------（ ▲ ）
A. 
B.
C.
D. 
3.在等比數列
中，已知
，那么
---------------------（ ▲ ）
A．4 B．
4．在△ABC中，
，則k的值是------------（ ▲ ）
A．5 B．－
D．
5．某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與19秒之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；…；第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖. 設成績小于17秒的學生人數占全班人數的百分比為
，成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數為y，則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為-------------------------（ ▲ ）
A．
B．
C．
D．
6．如圖，程序框圖所進行的求和運算是----------------（ ▲ ）
A． + + + … +
B．1 + + + … +
C． 1 + + + … +
D． + + + … +
7．已知
∈(
,
)，sin=
,則
等于（ ▲ ）
A． 
B． 
C． 
D．
8．設拋物線
的焦點為F，經過點P(2,1)的直線
與拋物線相交于A、B兩點且點P恰為AB的中點，則|AF|+|BF|=--------------------------------------------（ ▲ ）
A．10
B．
9.設
為互不重合的平面，
為互不重合的直線，給出下列四個命題：
①若
,則
；
②若
，則
；
③若
，則
；
④ 若
則
.
其中所有正確命題的序號是----------------------------------------------（ ▲ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
10．若直線
與圓
交于
兩點,且關于直線
對稱,動點P
在不等式組
表示的平面區域內部及邊界上運動，
則
的取值范圍是----------------------------------------------（ ▲ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題：（本大題共有5個小題，每小題4分，共計20分）
11. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積
等于_______▲__________.
12．
展開式中，常數項是_____▲_________.
13. 
______▲__ .
14. 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區服務，
如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為
_ _▲_______ .
15.在圓中有結論:如圖,“AB是圓O的直徑,直線AC,BD是圓O過 A,B的切線,P是圓O上任意一點,CD是過P的切線,則有
”. 類比到橢圓：“AB是橢圓的長軸, O是橢圓的中心，
是橢圓的的焦點，直線AC,BD是橢圓過A,B的切線,P是橢圓上任意一點,CD是過P的切線,則有
▲
.”
三、解答題（本大題共有6個小題，共計80分）
16．( 本題滿分13分)
函數
的圖像上一個最高點的坐標為
，與之相鄰的一個最低點的坐標為
.
（1）求
的表達式；
(2) 當
,求函數的單調遞增區間和零點.
17．( 本題滿分13分)
如圖，五面體
中，
．底面
是正三角形，
.四邊形
是矩形，二面角
為直二面角.
（1）
在
上運動，當在何處時，有
平面
,并且說明理由；
（2）當平面時，求二面角
的余弦值.
18．( 本題滿分13分)
2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、
迎迎、妮妮.現有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數量如下表：
福娃名稱
貝貝
晶晶
歡歡
迎迎
妮妮
數量
1
1
1
2
3
從中隨機地選取5只.
（1）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；
（2）若完整地選取奧運會吉祥物記10分；若選出的5只中僅差一種記8分；差兩種記6分；以此類推. 設ξ表示所得的分數，求ξ的分布列及數學期望.
19．( 本題滿分13分)
已知雙曲線
的兩個焦點為F1，F2，P為動點，若
=4.
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）求
的最小值；
（3）設點M（-2，0），過點N（
，0）作直線交軌跡E于A、B兩點，判斷
的大小是否為定值？并證明你的結論.
20．（本題滿分14分）
已知函數
, 
（1）求函數的定義域；
（2）求函數的單調區間；
（3）當
>0時，若存在x使得
成立，求的取值范圍.
21．（本題滿分14分，共3小題，任選其中2題作答，每小題7分）
(1) 選修4－2：矩陣與變換
設矩陣
，求矩陣
的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．其中
=
，
=
(2) 選修4－5：不等式選講
已知函數
．
（1）作出函數
的圖像；（2）解不等式
(3) 選修4－4：坐標系與參數方程
求極坐標系中，圓
上的點到直線
的距離的最小值．
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
A
A
A
B
B
A
D
二、填空題
11. 8 + ； 12. 60； 13.
； 14. 14； 15. 
.
三、解答題
16. 解：（1）依題意的
,所以
,于是
……………2分
由
解得
……………4分
把
代入
,可得
,所以
,
所以
,因為
,所以
綜上所述，
…………7分
（2）令
，得
，又
故
函數
的零點是
……………10分
由
得
函數的單調遞增區間是
……………13分
17. 解：（1）當
為
中點時,有
平面
………2分
證明:連結
交
于
,連結
∵四邊形
是矩形 ∴為中點
又為中點,從而
……………………………4分
∵
平面,
平面∴平面……………6分
（2）建立空間直角坐標系
如圖所示,則
,
,
,
,
……7分
所以
,
. ……………………………8分
設
為平面的法向量,則有
,即
令
,可得平面的一個法向量為
,
而平面
的一個法向量為
……………11分
所以
所以二面角
的余弦值為
……………13分
18. 解:
19．解：
（1）依題意雙曲線方程可化為
則
=4
點P的軌跡是以
為焦點的橢圓，其方程可設為
由
得
則所求橢圓方程為
，
故動點P的軌跡E的方程為；………………3分
（2）設
,
則由
，可知
在
中
又
即
當且僅當
時等號成立．故
的最小值為
………………6分
（3）當
與
軸重合時，構不成角AMB，不合題意．
當
軸時，直線的方程為
，代入
解得
、
的坐標分別為
、
而
，∴
，猜測為定值．………8分
證明：設直線的方程為
，由
，得
∴
，
………10分
∴
∴ 為定值。(AB與點M不重合) ……13分
20．解：
（1）當
時,由
得
；當
時由
得
綜上：當時函數的定義域為
；
當時函數的定義域為
………3分
（2）
………5分
令
時，得
即
，
①當
時，
時
，當
時，
，
故當 時，函數的遞增區間為
，遞減區間為
②當
時，
，所以，
故當時，在
上單調遞增．
③當
時，若
，;若
，，
故當時，的單調遞增區間為
;單調遞減區間為
．
綜上：當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為
當時，的單調遞增區間為
;
當時，的單調遞增區間為;單調遞減區間為; …10分
（Ⅲ）因為當時，函數的遞增區間為;單調遞減區間為
若存在使得
成立，只須
，
即
………14分
21．（本題滿分14分，共3小題，任選其中2題作答，每小題7分）
(1)選修4－2：矩陣與變換
解：由 M=
N=
可得
的特征多項式為
令
得矩陣的特征值為
再分別求得對應于特征值
的特征向量
…………7分
(2) 選修4－5：不等式選講
（1）解：依題意可知
，
則函數
的圖像如圖所示：
（2）由函數的圖像容易求得原不等式的解集為
…………7分
(3) 選修4－4：坐標系與參數方程
解：由
即
則易得
由
易得
圓心
到直線的距離為
又圓的半徑為2 , 圓上的點到直線的距離的最小值為
…………7分
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