遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈9：
極限
第 I 卷
一 選擇題（每小題5分，共60分）
1 某個命題與正整數
有關，若
時該命題成立，那么可推得
時該命題也成立，現已知
時，該命題不成立，則可以推得（ ）
A 
時該命題成立
B 時該命題不成立
C 
時該命題成立
D 時該命題不成立
2 
下面四個命題中：
（1）若
是等差數列，則的極限不存在；
（2）已知
，當
時，數列的極限為1或-1。
（3）已知
，則
。
（4）若
，則
，數列的極限是0。
其中真命題個數為（ ）
A 1
B
3 如果
存在
，則
的取值范圍是（ ）
A 
B
C 
D
4 已知，那么數列在區間
為任意小的正數）外的項有（ ）
A 有限多項 B 無限多項
C 0 D 有可能有限多項也可能無限多項
5 下列數列中存在極限的是（ ）
A
B 
C 
D 
6 
（ ）
A 1
B 
C 
D
2
7 
（ ）
A
1
B C
D
8 已知
，其中
，則實數
的取值范圍是（ ）
A 
B
C 
D
9 在等比數列中
，且前
項的和為
切滿足
，則
的取值范圍是（ ）
A 
B
C
D
10 
（ ）
A
4
B 
D
11 已知等比數列
的公比為，則有
，則首項
的取值范圍是（ ）
A
B
C 
D
1.
已知定義在
上的函數
同時滿足條件：①
；②
且
③當
時
。若的反函數是
，則不等式
的解集為
（ ）
A
B C
D
第 II 卷
二 填空題
13 若
，則
____________
14 已知函數
，若
存在，則
的值為_________，
15 設常數
，
展開式中
的系數為
，則
_____。
16已知拋物線
與
軸交于點A，將線段OA的等分點從坐到右依次記為
，過這些分點分別作
軸的垂線，與拋物線的交點依次是 
，從而得到
個直角三角形
，當 
時，這些三角形的面積之和的極限為_________
三 解答題
17 已知函數
在
處連續，求實數
的值。
18 已知是首項為1，公差為
的等差數列，其前項和為
；
是首項為1，公為
的等比數列，其前項和為
，設
，若
，
求實數
和的值。
19 已知數列的通項公式為
，記
。
（1）寫出數列的前四項。
（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明。
（3）令
，求
。
20 已知數列中
，其前項和為
，且滿足
。
（1）求數列的通項公式。
（2）若數列滿足
，
為前項和，若
，求實數
的值。
21 若不等式
對一切正整數都成立，求正整數 的最大值，并證明你的結論。
22 已知數列，與函數
滿足條件：
。
（1）若
，且
存在，求實數
的取值范圍，并用表示。
（2）若函數
為上的函數，
，試證明對任意的
。
1 D 解析：由已可知，該命題滿足數學歸納法定義，即存在某自然數
，當
時，對所有 均成立，而時，命題不成立，是針對命題不成立中的有限項，顯然針對時，
命題不會成立。，故選D。
為常數列，可知（1）為假命題；而由極限存在的唯一性，可知（2）也為假命題；對于（3）滿足極限定義可知是正確的；對于（4），由于與極限定義矛盾，應該趨于該數時的項，即不為0，故（4）也為假命題。故選A。
3 D 解析：當
時
，
極限顯然不存在，而
時，可得
為常數數列存在極限，
時，
為擺動數列，極限不存在，故選D。
4 B解析：由，存在自然數，當時，
無限趨于
，而數列在區間為任意小的正數），即所有趨于的項應該有無數多項，選B。
5 D解析：容易知道A應該為項為0和2的擺動數列，不存在極限；B為包含三個項1，0，-1循環出現的數列，不存在極限；C一定不存在極限；而D中為兩個特征列
，而時
，故極限存在，故選D。
，選C。
故有
，選C。
時
，而當時， 
，故選C。
9 D解析：
，故選D。
，選C。
11 D 解析：由可知
或
，故知D符合題意。
，而，故函數是上的增函數，故有也是定義域上的增函數，由可知C符合題意。
13
解析： 
14 解析：
，
故易得
15 解析：
，由
由
，所以
，所以為1。
16 解析： 可分別表示各個三角形的面積后再求。
，
，
=
，故
17解析：因為
在處連續，則
存在，即
存在且相等，
存在，則
中必定含有因式
。即是方程
的根，故有
，①則
，
同樣
存在， 則
含有因式，則即是方程
的根，即有
，②故有
，故有
，③，故有
，再由
，故有
。
18解析：由題可知
，
，故有
，故
，故有
，并項整理可得
，由極限定義，必有
19解析：（1）由
，可得
，于是有
（2）可猜測
，現在用數學歸納法證明之。
①
當
時，由于歸納已經證明符合猜測。
②
假設
時，猜測成立，即
，而
則有
時，
，即對時，猜測仍然成立。
（3） 
，
。
20解析：（1）
，化解可得
，由于，故有
，即為公差為4的等差數列，再由
，故有
。
（2） 由有
，
，故有
，由于其他部分為常數，故必然有
存在，即有
，此時有
21解析：當
時
。可猜測的最大值為25。下面用數學歸納法證明。
（1）時，命題成立已經證明。
（2）假設
時，命題成立，即
，
則當時，
=
故有
，即命題對于時也成立。
故的最大值為25。
22解析：（1）由題設可知
，即
，兩式子相減，可得
，則
是公比為
的等比數列，首項為
，
則
，
，左右兩邊分別相加可得
，故可得
，由于存在，則
存在，故有
，故
且
。
（2）因
，故有
，即
，
下面用數學歸納法證明之。
① 當
時，由為增函數，且
，得
，即命題成立。
② 假設命題當
時成立，即
，則由為增函數，可得
，從而
，
即命題對
時仍然成立，故對任意的成立。
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com