北京市東城區2008――2009學年度
高二年級數學選修課程模塊2-2測試題（理科卷）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．計算
的結果是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．拋物線
在點
處的切線方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在復平面內，復數
對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．設函數
，則
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 計算
的結果是（ ）
A．
B．
C．
D．
，若
,則
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6B.函數
的極大值為
，那么的值是（ ）
A．
B． C． D．
7． 一質點做直線運動，由始點經過
后的距離為
，則速度為的時刻是（ ）
A．
B．
C．與
D．
與
8. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則此直線平行于平面內的所有直線；已知直線
平面
，直線
平面，直線
平面，則直線直線” ．結論顯然是錯誤的，這是因為（ ）
A．大前提錯誤 B．推理形式錯誤 C．小前提錯誤 D．非以上錯誤
9. 右圖是函數
的導函數
的圖象，
給出下列命題：
①
是函數的極值點；
②
是函數的最小值點；
③在
處切線的斜率小于零；
④在區間
上單調遞增.
則正確命題的序號是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
10. 由直線
，
，曲線
及
軸所圍成的圖形的面積是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
11.設
是定義在正整數集上的函數，且滿足：“當
成立時，總可以推出
成立”．那么，下列命題總成立的是（ ）
A．若
成立，則當
時，均有成立
B．若
成立，則當
時，均有成立
C．若
成立，則當
時，均有
成立
D．若
成立，則當
時，均有成立
12．已知數列
滿足
，
，則
（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空題：本大題共4小題,每小題4分,共16分.將答案填在題中橫線上.
13. 若復數
為純虛數，則實數
____________．
14. 用演繹法證明
在區間
為增函數時的大前提是____________．
15. 在平面，到一條直線的距離等于定長（為正數）的點的集合是與該直線平行的兩條直線．這一結論推廣到空間則為：在空間，到一個平面的距離等于定長的點的集合是 ．
16．曲線
在點
處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為__________．
三、解答題：本大題共3小題,共36分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. (本小題滿分12分)
已知二次函數
在
處取得極值，且在
點處的切線與直線
平行．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求函數
的單調遞增區間．
設
，
，
．
（Ⅰ）求
，
，
的值；
（Ⅱ）歸納
的通項公式，并用數學歸納法證明.
18B. (本小題滿分12分)
在數列
中，
，且
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）歸納的通項公式，并用數學歸納法證明.
已知函數
.
（Ⅰ）求
的最小值；
（Ⅱ）若對所有
都有
，求實數的取值范圍.
19 B. (本小題滿分12分)
已知函數
（Ⅰ）求函數的單調減區間；
（Ⅱ）若不等式
對一切
恒成立，求
的取值范圍.
北京市東城區2008――2009學年度
高二年級數學選修課程模塊2-2測試題（理科卷）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）
1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．C
7．C 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．
14．增函數的定義 15．與該平面平行的兩個平面 16．
三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）
17．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由
，可得
．
由題設可得
即
解得
，
．
所以
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）由題意得
，
所以
．
令
，得
，
．
所以函數的單調遞增區間為，.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
解：（Ⅰ）
，
，
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）根據計算結果，可以歸納出 
.
當
時，
，與已知相符，歸納出的公式成立．
假設當
（
）時，公式成立，即
，
那么，
．
所以，當
時公式也成立．
綜上，對于任何
都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18B. (本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）
，因為
，
所以
，
，解得
，
同理
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）根據計算結果，可以歸納出
.
當時，
，與已知相符，歸納出的公式成立.
假設當（）時，公式成立，即
.
由
可得，
.
即 
.
所以
.
即當時公式也成立.
綜上，對于任何都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
（Ⅰ）解：
的定義域為
，
的導數
.
令
，解得
；令
，解得
.
從而在
單調遞減，在
單調遞增.
所以，當
時，
取得最小值
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
（Ⅱ）依題意，得
在
上恒成立，
即不等式
對于
恒成立.
令
，
則
.
當
時，因為
，
故是
上的增函數， 所以 
的最小值是
，
從而
的取值范圍是
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19B. (本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）由于
當
時，
，
令
，可得
.
當
時，
，
可知
．
所以函數的單調減區間為
. ………………………………………………6分
（Ⅱ）設
當時，
，
令
，可得
，即
；
令
，可得
.
可得
為函數的單調增區間，
為函數的單調減區間．
當時，
，
所以當時，
．
可得
為函數的單調減區間．
所以函數的單調增區間為，單調減區間為
.
函數的最大值為
，
要使不等式
對一切
恒成立，
即
對一切恒成立，
又
，
可得
的取值范圍為
. ………………………………………………12分
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