浙江省寧波市2009年4月高三模擬考試卷學(xué)（理科）卷.files/image002.jpg)
數(shù)學(xué)（理科）
說明：本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分．
考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．學(xué)（理科）卷.files/image002.jpg)
1、已知全集學(xué)（理科）卷.files/image004.gif)
，集合學(xué)（理科）卷.files/image006.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image008.gif)
，則學(xué)（理科）卷.files/image010.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image011.jpg)
A．學(xué)（理科）卷.files/image013.gif)
B．學(xué)（理科）卷.files/image015.gif)
C．學(xué)（理科）卷.files/image017.gif)
�。模�學(xué)（理科）卷.files/image019.gif)
2、某大型超市銷售的乳類商品有四種：液態(tài)奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且液態(tài)奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有40種、10種、30種、20種不同的品牌，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進(jìn)行三聚氰胺安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的酸奶與成人奶粉品牌數(shù)之和是
A．7 B．
3、已知定義在復(fù)數(shù)集學(xué)（理科）卷.files/image021.gif)
上的函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image023.gif)
滿足學(xué)（理科）卷.files/image025.gif)
，則學(xué)（理科）卷.files/image027.gif)
等于
A．學(xué)（理科）卷.files/image029.gif)
B．學(xué)（理科）卷.files/image031.gif)
C.學(xué)（理科）卷.files/image033.gif)
D．學(xué)（理科）卷.files/image035.gif)
4、已知兩個平面學(xué)（理科）卷.files/image037.gif)
、學(xué)（理科）卷.files/image039.gif)
，直線學(xué)（理科）卷.files/image041.gif)
，則“學(xué)（理科）卷.files/image043.gif)
”是“直線學(xué)（理科）卷.files/image045.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image047.gif)
”的
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
學(xué)（理科）卷.files/image049.gif)
5、已知函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image051.gif)
，其導(dǎo)函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image053.gif)
的部分圖象如圖所示，則函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image055.gif)
的解析式為
A．學(xué)（理科）卷.files/image057.gif)
B．學(xué)（理科）卷.files/image059.gif)
C．學(xué)（理科）卷.files/image061.gif)
D．學(xué)（理科）卷.files/image063.gif)
6、下列命題中是假命題的是
A．學(xué)（理科）卷.files/image065.gif)
上遞減
學(xué)（理科）卷.files/image067.jpg)
B．學(xué)（理科）卷.files/image069.gif)
C．學(xué)（理科）卷.files/image071.gif)
D．學(xué)（理科）卷.files/image073.gif)
都不是偶函數(shù)
7、已知某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為
A．學(xué)（理科）卷.files/image075.gif)
B．學(xué)（理科）卷.files/image077.gif)
C．學(xué)（理科）卷.files/image079.gif)
D．學(xué)（理科）卷.files/image081.gif)
8、對于非零向量學(xué)（理科）卷.files/image083.gif)
，定義運(yùn)算“#”：
學(xué)（理科）卷.files/image085.gif)
，其中學(xué)（理科）卷.files/image087.gif)
為的夾角．有兩兩不共線的三個向量學(xué)（理科）卷.files/image089.gif)
，下列結(jié)論：①若學(xué)（理科）卷.files/image091.gif)
，則學(xué)（理科）卷.files/image093.gif)
；②學(xué)（理科）卷.files/image095.gif)
；③若學(xué)（理科）卷.files/image097.gif)
，則學(xué)（理科）卷.files/image099.gif)
；④學(xué)（理科）卷.files/image101.gif)
；⑤學(xué)（理科）卷.files/image103.gif)
．其中正確的個數(shù)有
A．１個 B．２個 C．３個 D．４個
9、已知學(xué)（理科）卷.files/image105.gif)
滿足學(xué)（理科）卷.files/image107.gif)
且目標(biāo)函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image109.gif)
的最大值為7，最小值為１，
則學(xué)（理科）卷.files/image111.gif)
A．2 B．
10、定義在學(xué)（理科）卷.files/image113.gif)
上的函數(shù)滿足學(xué)（理科）卷.files/image116.gif)
，當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image118.gif)
時學(xué)（理科）卷.files/image120.gif)
，則
A．學(xué)（理科）卷.files/image122.gif)
B．學(xué)（理科）卷.files/image124.gif)
C．學(xué)（理科）卷.files/image126.gif)
D．學(xué)（理科）卷.files/image128.gif)
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.學(xué)（理科）卷.files/image011.jpg)
學(xué)（理科）卷.files/image130.gif)
11、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為學(xué)（理科）卷.files/image132.gif)
，一條漸近線方程為學(xué)（理科）卷.files/image134.gif)
，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
▲ ．
12、已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是 ▲ cm3．
13、若學(xué)（理科）卷.files/image136.gif)
的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第三項(xiàng)，則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為 ▲ .（用數(shù)字作答）
學(xué)（理科）卷.files/image138.gif)
14、若過點(diǎn)學(xué)（理科）卷.files/image140.gif)
可作圓學(xué)（理科）卷.files/image142.gif)
的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ▲ ．
15、已知一個公園的形狀如圖所示，現(xiàn)有4種不同的植物要種在此公園的A，B，C，D，E這五個區(qū)域內(nèi)，要求有公共邊界的的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物，共有 ▲ 種不同的種法．
16、由9個正數(shù)組成的矩陣學(xué)（理科）卷.files/image145.gif)
中，每行中的三個數(shù)成等差數(shù)列，且
學(xué)（理科）卷.files/image147.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image149.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image151.gif)
成等比數(shù)列.給出下列結(jié)論：①第2列中的學(xué)（理科）卷.files/image153.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image155.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image157.gif)
必成等比數(shù)列；②第1列中的學(xué)（理科）卷.files/image159.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image161.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image163.gif)
不一定成等比數(shù)列；③學(xué)（理科）卷.files/image165.gif)
；④若9個數(shù)之和等于9，則學(xué)（理科）卷.files/image167.gif)
．其中正確的序號有
學(xué)（理科）卷.files/image169.gif)
▲ （填寫所有正確結(jié)論的序號）．
17、若函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image171.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image173.gif)
，其圖象如圖所示，則學(xué)（理科）卷.files/image175.gif)
▲ ．
三、解答題：本大題共5小題，共72分. 解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟.
18、（本小題14分）
在學(xué)（理科）卷.files/image177.gif)
中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且學(xué)（理科）卷.files/image179.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image181.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image183.gif)
邊上的中線學(xué)（理科）卷.files/image185.gif)
的長為學(xué)（理科）卷.files/image187.gif)
．
(Ⅰ) 求角學(xué)（理科）卷.files/image189.gif)
和角學(xué)（理科）卷.files/image191.gif)
的大��；
(Ⅱ) 求的面積．
19、（本小題14分）
盒子中裝著標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的卡片分別有1張、2張、3張、4張，從盒子中任取3張卡片，每張卡片被取出的可能性都相等，用學(xué)（理科）卷.files/image193.gif)
表示取出的3張卡片的最大數(shù)字，求：
（Ⅰ）取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率；
（Ⅱ）隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）設(shè)取出的三張卡片上的數(shù)字之和為學(xué)（理科）卷.files/image196.gif)
，求學(xué)（理科）卷.files/image198.gif)
．
20、（本小題14分）
如圖，已知學(xué)（理科）卷.files/image200.gif)
為平行四邊形，學(xué)（理科）卷.files/image202.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image204.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image206.gif)
，點(diǎn)學(xué)（理科）卷.files/image208.gif)
在學(xué)（理科）卷.files/image210.gif)
上，學(xué)（理科）卷.files/image212.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image214.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image216.gif)
交學(xué)（理科）卷.files/image218.gif)
于點(diǎn)學(xué)（理科）卷.files/image220.gif)
，現(xiàn)將四邊形學(xué)（理科）卷.files/image222.gif)
沿折起，使點(diǎn)學(xué)（理科）卷.files/image225.gif)
在平面學(xué)（理科）卷.files/image227.gif)
上的射影恰在直線上．
(Ⅰ) 求證：學(xué)（理科）卷.files/image230.gif)
平面；
(Ⅱ) 求折后直線學(xué)（理科）卷.files/image233.gif)
與直線學(xué)（理科）卷.files/image235.gif)
所成角的余弦值;
(Ⅲ) 求三棱錐學(xué)（理科）卷.files/image237.gif)
的體積．
學(xué)（理科）卷.files/image239.gif)
21、（本小題15分）
已知橢圓學(xué)（理科）卷.files/image241.gif)
的長軸長為學(xué)（理科）卷.files/image243.gif)
，離心率為學(xué)（理科）卷.files/image245.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image247.gif)
分別為其左右焦點(diǎn)．一動圓過點(diǎn)學(xué)（理科）卷.files/image249.gif)
，且與直線學(xué)（理科）卷.files/image251.gif)
相切．
(Ⅰ)
(?)求橢圓學(xué)（理科）卷.files/image253.gif)
的方程；
(?)求動圓圓心軌跡的方程；
(Ⅱ) 在曲線上有兩點(diǎn)學(xué)（理科）卷.files/image257.gif)
，橢圓上有兩點(diǎn)學(xué)（理科）卷.files/image259.gif)
，滿足學(xué)（理科）卷.files/image261.gif)
與學(xué)（理科）卷.files/image263.gif)
共線，學(xué)（理科）卷.files/image265.gif)
與學(xué)（理科）卷.files/image267.gif)
共線，且學(xué)（理科）卷.files/image269.gif)
，求四邊形學(xué)（理科）卷.files/image271.gif)
面積的最小值．
22、（本小題15分）
已知函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image273.gif)
．
(Ⅰ)
若學(xué)（理科）卷.files/image275.gif)
為學(xué)（理科）卷.files/image277.gif)
的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(Ⅱ)
若在學(xué)（理科）卷.files/image281.gif)
上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)
若學(xué)（理科）卷.files/image284.gif)
時，方程學(xué)（理科）卷.files/image286.gif)
有實(shí)根，求實(shí)數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image288.gif)
的取值范圍．
寧波市2009年高三模擬考試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1． A 2． B 3． C 4． A 5．B
6． D 7． A 8． C 9． D 10．C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
11． 學(xué)（理科）卷.files/image290.gif)
12．學(xué)（理科）卷.files/image292.gif)
13．24 14．學(xué)（理科）卷.files/image294.gif)
15．168 16．①②③ 17．1：（-6）：5：（-8）
三、解答題：本大題共6小題，共74分．
18．解：(Ⅰ)由學(xué)（理科）卷.files/image296.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image298.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image300.gif)
---------4分
由學(xué)（理科）卷.files/image181.gif)
，得學(xué)（理科）卷.files/image302.gif)
即學(xué)（理科）卷.files/image304.gif)
則學(xué)（理科）卷.files/image306.gif)
，即學(xué)（理科）卷.files/image021.gif)
為鈍角，故學(xué)（理科）卷.files/image191.gif)
為銳角，且學(xué)（理科）卷.files/image310.gif)
則學(xué)（理科）卷.files/image312.gif)
故學(xué)（理科）卷.files/image314.gif)
．
---------8分
(Ⅱ)設(shè)學(xué)（理科）卷.files/image316.gif)
，
由余弦定理得學(xué)（理科）卷.files/image318.gif)
解得學(xué)（理科）卷.files/image320.gif)
故學(xué)（理科）卷.files/image322.gif)
．
---------14分
19．解：（1）學(xué)（理科）卷.files/image324.gif)
--------4分
（2）x可能取的所有值有2,3,4 --------5分
學(xué)（理科）卷.files/image326.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image328.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image330.gif)
--------8分
∴x的分布列為：
學(xué)（理科）卷.files/image193.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image333.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image335.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image243.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image338.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image340.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image342.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image344.gif)
∴Ex=學(xué)（理科）卷.files/image346.gif)
--------10分
（3）當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image348.gif)
時，取出的3張卡片上的數(shù)字為1,2,2或1,2,3
當(dāng)取出的卡片上的數(shù)字為1,2,2或1,2,3的概率為學(xué)（理科）卷.files/image350.gif)
，
∴學(xué)（理科）卷.files/image352.gif)
--------14分
學(xué)（理科）卷.files/image354.jpg)
20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，
∴EF⊥平面BDN，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
又因?yàn)锽N為平面BDN與平面BCEF的交線，
∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上
而D在平面BCEF上的射影在BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即為點(diǎn)B，即BD⊥平面BCEF. --------4分
（Ⅱ）法一．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，
則BN=學(xué)（理科）卷.files/image356.gif)
，DN=學(xué)（理科）卷.files/image358.gif)
，∴折后圖中BD=3，BC=3
∴學(xué)（理科）卷.files/image360.gif)
，
學(xué)（理科）卷.files/image362.gif)
∴學(xué)（理科）卷.files/image364.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image366.gif)
∴學(xué)（理科）卷.files/image368.gif)
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為學(xué)（理科）卷.files/image370.gif)
. --------９分
法二．在線段BC上取點(diǎn)M，使BM=FN，則MN//BF
∴∠DNM或其補(bǔ)角為DN與BF所成角。
又MN=BF=2， DM=學(xué)（理科）卷.files/image372.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image374.gif)
。
∴學(xué)（理科）卷.files/image376.gif)
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為。
（Ⅲ）∵AD//EF，
∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，
∴學(xué)（理科）卷.files/image378.gif)
即所求三棱錐的體積為學(xué)（理科）卷.files/image380.gif)
. --------14分
21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得學(xué)（理科）卷.files/image382.gif)
，
則所求橢圓方程學(xué)（理科）卷.files/image384.gif)
. --------3分
(?)由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)為學(xué)（理科）卷.files/image386.gif)
，準(zhǔn)線方程為學(xué)（理科）卷.files/image251.gif)
，則動圓圓心軌跡方程為學(xué)（理科）卷.files/image389.gif)
. --------6分
(Ⅱ)當(dāng)直線MN的斜率不存在時，|MN|=4，
此時PQ的長即為橢圓長軸長，|PQ|=4，
從而學(xué)（理科）卷.files/image391.gif)
.
--------8分
設(shè)直線學(xué)（理科）卷.files/image393.gif)
的斜率為學(xué)（理科）卷.files/image395.gif)
，則學(xué)（理科）卷.files/image397.gif)
,直線的方程為：學(xué)（理科）卷.files/image400.gif)
直線PQ的方程為學(xué)（理科）卷.files/image402.gif)
，
設(shè)學(xué)（理科）卷.files/image404.gif)
由學(xué)（理科）卷.files/image406.gif)
，消去學(xué)（理科）卷.files/image408.gif)
可得學(xué)（理科）卷.files/image410.gif)
由拋物線定義可知：
學(xué)（理科）卷.files/image412.gif)
----10分
由學(xué)（理科）卷.files/image414.gif)
，消去得學(xué)（理科）卷.files/image417.gif)
，
從而學(xué)（理科）卷.files/image419.gif)
，
--------12分
∴學(xué)（理科）卷.files/image421.gif)
令學(xué)（理科）卷.files/image423.gif)
，
∵k>0，則學(xué)（理科）卷.files/image425.gif)
則學(xué)（理科）卷.files/image427.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image429.gif)
所以學(xué)（理科）卷.files/image431.gif)
--------14分
所以四邊形學(xué)（理科）卷.files/image271.gif)
面積的最小值為8.
--------15分
22．解：（Ⅰ）學(xué)（理科）卷.files/image433.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image435.gif)
∵學(xué)（理科）卷.files/image275.gif)
為學(xué)（理科）卷.files/image438.gif)
的極值點(diǎn)，∴學(xué)（理科）卷.files/image440.gif)
∴學(xué)（理科）卷.files/image442.gif)
且學(xué)（理科）卷.files/image444.gif)
∴學(xué)（理科）卷.files/image446.gif)
.
又當(dāng)時，學(xué)（理科）卷.files/image449.gif)
，從而學(xué)（理科）卷.files/image451.gif)
為的極值點(diǎn)成立。
--------4分
（Ⅱ）因?yàn)?sub>在學(xué)（理科）卷.files/image281.gif)
上為增函數(shù)，
所以學(xué)（理科）卷.files/image455.gif)
在上恒成立. --------6分
若，則學(xué)（理科）卷.files/image459.gif)
，
∴在上為增函數(shù)不成立；
若學(xué)（理科）卷.files/image462.gif)
，由學(xué)（理科）卷.files/image464.gif)
對學(xué)（理科）卷.files/image466.gif)
恒成立知學(xué)（理科）卷.files/image468.gif)
。
所以學(xué)（理科）卷.files/image470.gif)
對學(xué)（理科）卷.files/image472.gif)
上恒成立。
令學(xué)（理科）卷.files/image474.gif)
，其對稱軸為學(xué)（理科）卷.files/image476.gif)
，
因?yàn)?sub>，所以學(xué)（理科）卷.files/image478.gif)
，從而學(xué)（理科）卷.files/image480.gif)
在上為增函數(shù)。
所以只要學(xué)（理科）卷.files/image482.gif)
即可，即學(xué)（理科）卷.files/image484.gif)
所以學(xué)（理科）卷.files/image486.gif)
又因?yàn)?sub>，所以學(xué)（理科）卷.files/image489.gif)
．
--------10分
（Ⅲ）若學(xué)（理科）卷.files/image284.gif)
時，方程學(xué)（理科）卷.files/image286.gif)
可得學(xué)（理科）卷.files/image492.gif)
即學(xué)（理科）卷.files/image494.gif)
在學(xué)（理科）卷.files/image496.gif)
上有解
即求函數(shù)學(xué)（理科）卷.files/image498.gif)
的值域．
法一：學(xué)（理科）卷.files/image500.gif)
令學(xué)（理科）卷.files/image502.gif)
由學(xué)（理科）卷.files/image504.gif)
∵
∴當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image506.gif)
時，學(xué)（理科）卷.files/image508.gif)
，從而學(xué)（理科）卷.files/image510.gif)
在(0,1)上為增函數(shù)；
當(dāng)時，學(xué)（理科）卷.files/image513.gif)
，從而在(1，+∞)上為減函數(shù)。
∴學(xué)（理科）卷.files/image516.gif)
，而可以無窮小。
∴學(xué)（理科）卷.files/image519.gif)
的取值范圍為學(xué)（理科）卷.files/image521.gif)
.
--------15分
法二：學(xué)（理科）卷.files/image523.gif)
學(xué)（理科）卷.files/image525.gif)
當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image527.gif)
時，學(xué)（理科）卷.files/image529.gif)
，所以學(xué)（理科）卷.files/image531.gif)
在上遞增；
當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image533.gif)
時，學(xué)（理科）卷.files/image535.gif)
，所以在上遞減；
又學(xué)（理科）卷.files/image539.gif)
，∴令學(xué)（理科）卷.files/image541.gif)
，學(xué)（理科）卷.files/image543.gif)
.
∴當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image545.gif)
時，學(xué)（理科）卷.files/image547.gif)
，所以學(xué)（理科）卷.files/image549.gif)
在上遞減；
當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image552.gif)
時，學(xué)（理科）卷.files/image554.gif)
，所以在上遞增；
當(dāng)時，，所以在上遞減；
又當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image561.gif)
時，學(xué)（理科）卷.files/image563.gif)
，
學(xué)（理科）卷.files/image565.gif)
當(dāng)學(xué)（理科）卷.files/image567.gif)
時, 學(xué)（理科）卷.files/image569.gif)
,則學(xué)（理科）卷.files/image571.gif)
，且學(xué)（理科）卷.files/image573.gif)
所以的取值范圍為. --------15
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