2009年高考實戰模擬數學（文）試題
一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分.）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
A
C
A
C
D
B
D
B
C
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）
13. 
； 14. 3； 15. 
； 16. 
三、解答題（共6個小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 解：（Ⅰ）解法一：∵
、
、
∴
，
.
由
得：
，
即
. ∵
∴
.
…………………5分
解法二：∵ ∴點在線段
的中垂線上，即在直線
上，故
∵ ∴.
…………………5分
（Ⅱ）由
得：
.
即
…………………6分
∵
， ∴
…………8分
∴
即
∴
………………10分
18. 解：設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于
（Ⅰ）6種添加劑中任取兩種芳香度之和等于4的取法有2種：
、
，
故
。
………………………6分
（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1種：
；芳香度之和等于2的取法有1種：
，故
。
………………………12分
19. 解法一：
（Ⅰ）依題意，
在平面
內
………………………2分
在正方體
中,
∴
同理
∴
平面
∴
………………………………………6分
（Ⅱ）連接
，過
做
平面
，垂足為
，∵
∥
∴在
上；過作
于
，連接PF，則
為二面角
的一個平面角。 ………………8分
在
中，
，因為
，
所以
。
∴為的中點 ∴
為
的中點。
即為的中點時，二面角的正切值為
。 ……………………12分
解法二：以
為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示。所以
（
）
（Ⅰ）
∴ …………………………………6分
（Ⅱ）由題意可得，
為平面
的一個法向量，設
為平面
的一個法向量，
則
…………………7分
即
，令z=1，解得：
…………………8分
所以
……10分
∴
解得 
或
（舍去）
∴為的中點時，二面角的正切值為。 …………………12分
20. 解：(Ⅰ)根據題設條件，
.設點
則
、
滿足
∴可解得
， …………………3分
∴
由
得
于是
.
∴所求雙曲線方程為
.
…………………6分
（Ⅱ）設
是雙曲線上任意一點，該雙曲的兩條漸近線方程分別是
和
. 則點到兩條漸近線的距離分別為：
，
…………………8分
∴
.
故點到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個常數. …………………12分
21. 解（Ⅰ）由題意知
當
=1時，
當
兩式相減得
（
）
整理得：
（） ……………………………………………4分
∴數列
是
為首項，2為公比的等比數列.
……………………………………5分
（Ⅱ）
∴
……………………………………6分
∴
①
②
①－②得
………………9分
…………………………11分
∴
…………………………12分
22. 解：（Ⅰ）
， 而
∴
∵
有三個根
∴ 
∴ 
由
得
，即
∴
……………………………4分
（Ⅱ）
∴
∴
…………………………8分
（Ⅲ）
∴ 
∴ 
又∵ ∴ 
當且僅當
時，
取最小值，此時
…………………………………………12分
注：以上解答僅供參考，另有解法，酌情給分。
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