甘肅省張掖市2009年普通高中高三第一次模擬考試
數學文科
(滿分:150分 時間:120分鐘)
一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）．
1.“
”是“
”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2.
的各項系數之和為16，則展開式中二項式系數最大的項是（ ）
A．6
B．6
C．
D． 或4
3.某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調查樹苗的生長情況，采用 分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數量為（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
4.若
，則下列不等式① a+b<ab；② |a|>|b|；③ a<b；④ 
中，正確的不等式有（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
5.過點
與圓
相交的所有直線中，被圓截得的弦最長時的直線方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D. 
6.集合A=｛2,4,6，8,10｝,集合B=｛1,3,5，7,9｝,從集合A中任選一個元素a,從集合B中任選一個元素b,
b<a的概率是（ ）
A.
B.
7. 函數
的圖象過原點且它的導函數
的圖象是如圖所示的一條直線，則的圖象的頂點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.正三棱柱
的底面邊長和側棱長均為2，
分別為
、
的中點，則
與所成角的余弦值為（ ）
A. 0 B.
C.
D. 
9.給出定義：連接平面點集內任意兩點的線段中，線段的最大長度叫做該平面點集的長度．已知平面點集M由不等式組
給出，則點集M的長度是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 函數
的反函數圖像是( )
11.有限數列
，它的前n項的和為Sn，定義
為A的“凱森和”，若有99項的數列
的“凱森和”為1000，則有100項的數列1，的“凱森和”為（ ）
A．991 B．990 C．1000 D．999
12. 已知F1、F2為橢圓E的左、右兩個焦點，拋物線C以F1為頂點，F2為焦點,設P為橢圓與拋物線的一個交點，如果橢圓的離心率e滿足
，則e為（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）.
13. 已知向量
，若
與
垂直，則
.
14. 按ABO血型系統學說，每個人的血型為A，B，O，AB型四種之一，依血型遺傳學,當且僅當父母中至少有一人的血型是AB型時，子女的血型一定不是O型，若某人的血型的O型，則父母血型的所有可能情況有 種. 15. 函數y=ax2-2x的圖像上有且僅有兩個點到x軸的距離等于1,則a的取值范圍是 .
16.函數
的圖象為
，給出如下結論：①圖象關于直線
對稱；②圖象關于點
對稱；③函數
在區間
內是增函數；④由
的圖角向右平移
個單位長度可以得到圖象．
其中正確的是 （寫出所有正確結論的編號）．
三．解答題(本大題共6小題,其中第17小題10分,18―22小題每小題12分, 共70分).
17.已知f(x)=
（1）求f(x)的最小正周期及最大值；
（2）求函數f(x)的單調遞增區間.
18.在一次籃球練習課中，規定每人投籃5次，若投中2次就稱為“通過” ，若投中3次就稱為“優秀”并停止投籃。已知甲每次投籃投中概率是
.
(1)求甲恰好投籃3次就“通過”的概率；
(2)求甲投籃成績“優秀”的概率.
19. 如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直⊙O所在的平面，C為⊙O上一點，H為PC的中點，已知AB=2，AC=
，二面角
P―BC―A的大小為
．
（1）求證：面PBC⊥面PAC；
（2）求AB與面PBC所成的角的正弦；
（3）求點P到平面ABH的距離.
20.已知數列
的前
項和為
，
，且
（為正整數）.
（1）求數列的通項公式；
（2）記S=
，若對任意正整數，
恒成立，求實數
的最大值.
21.已知雙曲線C：
（a>0，b>0）的兩個焦點為F1(-2,0)和F2(2,0),點P(3, 
)在曲線C上.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設O為坐標原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為
求直線l的方程
22.設函數f(x)=x3+ax2－a2x+m(a>0).
（1）求函數f(x)的單調區間；
（2）若函數f(x)在x∈[－1，1]內沒有極值點，求a的取值范圍；
（3）若對任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范圍.
2009年張掖市普通高中高三聯合考試
文 科 數 學 參 考 答 案
一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）．
BACBCD ABBCAB
二.填空題（本大題共四小題，每小題5分，共20分）
13. 2 14. 9 15. a<-1或a=0或a>1 16. ①②③
三．解答題(本大題共6小題,其中第17小題10分,18―22小題每小題12分, 共70分).
17. 解:（1）f(x)=
…………………………………………………………………4分
∴
……………………………………………………………………6分
（2）由y=f(x)遞增
2kπ－
(k∈Z) …………………8分
解得：kπ－
(k∈Z)
故遞增區間為：（k
－
，k+
）(k∈Z). ………………………………10分
18. 解：（1）前2次中恰有一次投中且第3次也投中，
∴
………5分
（2）
……………………12分
19. 解：（1）證明：
面PBC⊥面PAC. ……………………………………………………………4分
（2）由（1）知：BC⊥面PAC二面角P―BC―A平面角為∠PCA=.
則AH⊥PC，易知，AH⊥面PBC；
∴BH為AB在面PBC上射影.
∴∠ABH即為AB與面PBC所成的角. …………6分
可求：AH=AC?sin=
故在△AHB中，sin∠ABH=
…………8分
(3)設P到面ABH的距離為d，
則 
=
d=?
?AH?BH?d=??
?
d.
=
?BC=?AH?PH?BC=????1．
由=可得d=
. ……………………………………………12分
20. 解:（1）
，
①
當
時，
.
②
由 ① - ②，得
.
.
…………………………………………………… 3分
又 
，
，解得 
.
數列是首項為1，公比為
的等比數列.
（為正整數）.
…………………………………6分
（2）由（1）知，
. ………… 8分
由題意可知，對于任意的正整數，恒有
，解得 
.
數列
單調遞增， 當
時，數列中的最小項為
，
必有
，即實數的最大值為. ………………………………12分
21. 解:(1)解法1：依題意a2+b2=4，得雙曲線方程為
（0＜a2＜4）
將點（3，
）代入上式，得
.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求雙曲線方程為 
………………………………………6分
解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴雙曲線C的方程為
(2)解法1：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得 (1－k2)x2－4kx－6=0. ①
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,
∴
∴k∈(－
)∪(1,
). ② …………………………………8分
設E(x1,y1),F(x2,y2)，則由①式得x1+x2=
于是
|EF|=
=
又原點O到直線l的距離d＝
,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝
，即
解得k=±
,滿足②.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=
和
……………………………………………………………………………12分
22. 解：（1）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－
)(x+a),
又a>0，∴當x<－a或x>時f′(x)>0；
當－a<x<時，f′(x)<0.
∴函數f(x)的單調遞增區間為（－∞，－a），(，+∞)，單調遞減區間為
(－a，). ……………………………………………………………………4分
（2）由題設可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上沒有實根
∴
，解得a>3. …………………………………………………8分
（3）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3
又x∈[－2,2]
∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}
而f(2)－f(－2)=16－4a2<0
∴f(x)max=f(－2)=－8+4a+2a2+m ………………………………………10分
又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立
∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1
即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立
∵9－4a－2a2的最小值為－87
∴m ≤－87. …………………………………………………………12分
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