云南省曲靖一中2009屆高三高考沖刺卷
數學理科（二）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．
1．設集合
，則
A．{
，0} B．（0，1，2}
C．{，0，1） D．{
，
，0，1，2）
2．設
且
，若復數
是純虛數，則
A．
B．
C．
D．
3．函數
的圖象
A．關于
軸對稱 B．關于
軸對稱
C．關于直線
對稱 D．關于坐標原點對稱
4．若
，則
A．
B．
C．
D．
5．已知實數、同時滿足三個條件：①
；②
；③
，則
的
最小值等于
A．3 B．
6．從5名男運動員、4名女運動員中任選4名參加4×
員中既有男運動員又有女運動員的概率是
A．
B．
C．
D．
7．
的展開式中的系數是
A． B．
C．4 D．4
8．已知函數
，動直線
與
、
的圖象分別
交于點
、
，
的取值范圍是
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，
] D．[1，]
9．設
，則橢圓
的離心率的取值范圍是
A．
B．
C．
D．（0，1）
10．高考資源網正四面體
中，
是
中點，
與
所成角的余弦值等于
A．
B．
C．
D．
11．高考資源網某等腰三角形的兩腰所在的直線方程是
與
，點（
，0）
在等腰三角形的底邊上，底邊所在直線的斜率等于
A．3
B． C．
D．
12．正四面體的內切球與外接球的半徑的比等于
A．1：2 B．1：
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．已知向量
與
共線，則
．
14．設曲線
在（1，0）處的切線與直線
垂直，直線
的傾角是
弧度．
15．曲線
的過一個焦點且傾角是135°的弦的長度等于
．
三、解答題：本大題共6小題．共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
在
中，
，求三角形
的面積．
18．（本小題滿分12分）
在正三棱柱
中，
是
的中點，在線段
上且
．
（1）證明
面
；
（2）求二面角
的大小．
19．（本小題滿分12分）
關于學平險（即學生平安保險），學生自愿投保，每個投保學生每年交納保費50元，如果學生發生意外傷害或符合賠償的疾病，可獲得5000元賠償．假定各投保學生是否出險相互獨立，并且每個投保學生在一年內出險的概率均是0．004（說明：此處對實際保險問題作了簡化處理）．假定一年內5000人投保．
（1）求保險公司在學平險險種中，一年內支付賠償金至少5000元的概率；
（2）設保險公司辦理學平險除賠償金之外的成本為8萬元，求該公司在學平險險種上盈利的期望．
20．（本小題滿分12分）
設數列
的前
項和為
，滿足
．
（1）
時，用表示；
（2）求首項
的取值范圍，使是遞減數列．
21．（本小題滿分12分）
設函數
．
（1）求的單調區間及極值，
（2）如果對任意
恒有
，求
的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）
點
是橢圓短軸的一個端點，
是橢圓的一個焦點，
的延長線與橢圓交于點
，直線
與橢圓相交于點
、
，與相交于點（與
、不重合）．
（1）若是的中點，求
的值；
（2）求四邊形面積的最大值．
一、
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10．C
11．D 12．B
1～5略
6．
或
．
7．解：
．
其展開式中含
的項是：
，系數等于
．
8．解：根據題意：
．
9．解：
，橢圓離心率為
，
，
．
10．解：依腰意作出圖形．取
中點
，連接
、
，則
，不妨設四面體棱長為2，則
是等腰三角形，
必是銳角，就是
與
所成的角，
．
11．解：已知兩腰所在直線斜率為1，
，設底邊所在直線斜率為
，已知底角相等，由到角公式得：
，解得
或
．
由于等腰三角底邊過點（
，0）則只能取
．
12．解：如圖，正四面體
中，
是
中心，連
，此四面體內切球與外接球具有共同球心
．必在上，并且
等于內切球半徑，
等于外接球半徑．記
面積為
，則
，從而
．
二、
13．
．解：
，
與
共線
．
14．
．解：
，曲線
在（1，0）處的切線與直線
垂直，則
，的傾角是．
15．曲線
①，化作標準形式為
，表示橢圓，由于對稱性．取焦點
，過且傾角是135°的弦所在直線方程為：
，即
②，聯立式①與式②．消去y，得：
，由弦長公式得：
．
16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．
充要條件②：底面是正三角形．且三條側棱長相等，
充要條件③：底面是正三角形，且三個側面與底面所成角相等．
再如：底面是正三角形．且三條側棱與底面所成角相等；三條側棱長相等，且三個側面與底面所成角相等；三個側面與底面所成角相等，三個側面兩兩所成二面角相等．
三、
17．解：
，則
，
，
．由正弦定理得
，
．
18．（1）證：已知
是正三棱柱，取
中點，
中點，連
，
，則、
、兩兩垂直，以、、為、
、
軸建立空間直角坐標系，又已知
，
則
．
，
，則
，又因
與
相交，故
面
．
（2）解：由（1）知，
是面的一個法向量．
，設
是面
的一個法向量，則
①，
②，取
，聯立式①、②解得
，則
．
二面角
是銳二面角，記其大小為
．則
，
二面角的大小
，亦可用傳統方法解（略）．
19．解：已知各投保學生是否出險相互獨立，且每個投保學生在一年內出險的概率都是
，記投保的5000個學生中出險的人數為
，則
（5000，0．004）即服從二項分布．
（1）記“保險公司在學平險險種中一年內支付賠償金至少5000元”為事件A，則
，
．
（2）該保險公司學平險除種總收入為
元=25萬元，支出成本8萬元，支付賠償金5000元=0．5萬元，盈利
萬元．
由~
知，
，
進而
萬元．
故該保險公司在學平險險種上盈利的期望是7萬元．
20．解（1）：由
得
，即
，
，而
由表可知，
在
及
上分別是增函數，在
及
上分別是減函數．
．
（2）
時，
等價于
，記
，
則
，因
，
則
在
上是減函數，
，故
．
當
時，
就是
，顯然成立，綜上可得
的取值范圍是：
22．解：（1）由條件可知橢圓的方程是：
①，直線
的方程是
②，
聯立式①、②消去并整理得
，由此出發時，
是等比數列，
．
（2）由（1）可知，
．當
時，
，
是遞減數列
對恒成立
．
，
時，是遞減數列．
21．解（1）：
，由
解得函數定義域呈
．
，由
解得
，列表如下：
0
0
ㄊ
極大
ㄋ
ㄋ
極小
ㄊ
解得
，進而求得中點
．
己知
在直線
上，則
．
（2）
．
設
，則
，點
到直線的距離
．
，由于直線與線段相交于
，則
，則
．
記
，則
．
其次，
，同理求得
到的中離：
，
設
，即
，由
得
．
，
即
且
時，
．
又
，當
即
時，
．注意到
，由對稱性，
時仍有
故
，進而
．
故四邊形的面積：
，
當時，
．
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