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1．若集合P = { y?y = lg x，x＞1 }，Q = {－2，－1，1，2 }，則 (_RP )∩Q等于

A．{－2，－1，1，2 }               B．（－∞，0）

C．（0，+∞）                       D．{－2，－1 }

2．設a = log₃2，b = log₂3，c = log₂5，則

A．a＜b＜c       B．a＜c＜b     C．b＜a＜c      D．b＜c＜a

3．函數（x≠0）的反函數的圖象大致是

A．                  B．              C．                 D．

4．若向量a =（1, m）和b =（2m + 3, －m）共線，其中m∈R，則?a－b?=

A．2或0        B．2         C．2或2      D．4或20

5．過點A（0，1）與圓x² + y²－2x－3 = 0相交的所有直線中，被圓截得的弦最長時的直線方程是

A．x = 0         B．x + y－1 = 0   C．x－y + 1 = 0    D．y = 1

6．若實數x、y滿足約束條件 則2x + 3y的最大值為

A．2            B．6           C．8              D．9

7．已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x + 4）= f（x），當x∈（0，2）時，f（x）= x + 2，則f（7）=

A．－3          B．3           C．－1            D．1

8．已知直線a、b、c和平面a，則a∥b的一個必要不充分條件是

A．a⊥c且b⊥c                  B．a∥c且b∥c

C．a∥a 且b∥a                 D．a、b與a 所成角相等

9．從8名學生（其中男生6人，女生2人）中按性別用分層抽樣的方法抽取4人參加接力比賽，若女生不排在最后一棒，則不同的安排方法種數為

A．1440        B．960           C．720          D．360

10．△ABC中，角A滿足sin⁴A－cos⁴A≤cosA－sinA，則

A．0＜A≤     B．0＜A≤    C．≤A≤   D．≤A＜

11．若橢圓（a＞b＞0）的離心率，右焦點為F（c，0），方程ax² + 2bx + c = 0的兩個實數根分別是x₁和x₂，則點P（x₁，x₂）到原點的距離為

A．         B．        C．2             D．

12．已知函數  給出函數f（x）的下列五個結論：

① 最小值為； ② 一個單增區間是（，）；③ 其圖象關于直線（k∈Z）對稱； ④ 最小正周期為2p； ⑤ 將其圖象向左平移后所得的函數是奇函數． 其中正確結論的個數是

A．1            B．2            C．3            D．4

綿陽市高中2009屆第三次診斷性考試

數  學（文科）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項：

1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷中．

2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．

題號

二

三

總分

總分人

總 分

復查人

17

18

19

20

21

22

分數

得分

評卷人

13．等比數列 { a_n } 中，若a₁，a₇，a₄ 成等差數列，則數列{ a_n }的公比為              ．

14． 的展開式中常數項等于              ．

15．已知不平行于x軸的直線y = kx + b（b＞0）與拋物線x² = 2py（p＞0）交于A、B兩點，點A、B到y軸的距離的差等于2k，則拋物線的焦點坐標為              ．

16．設A、B、C是球面上三點，線段AB = 2，若球心到平面ABC的距離的最大值為，則球的表面積等于              ．

得分

評卷人

17．（本題滿分12分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．

（1）若sin C + sin（B－A）= sin 2A，試判斷△ABC的形狀；

（2）若△ABC的面積S = 3，且c =，C =，求a，b的值．

得分

評卷人

18．（本題滿分12分）

春暖大地，萬物復蘇．目前已進入綠化造林的黃金季節，到處都能看到綠化工人（綠化員）和參加義務植樹的百姓植樹種草、綠化環境的身影．某8人（5男3女）綠化組，為了提高工作效率，開展小組間的比賽，現分成A、B兩個小組，每個小組4人．

（1）求A組中恰有一名女綠化員的概率；

（2）求A組中至少有兩名女綠化員的概率．

得分

評卷人

19．（本題滿分12分）

四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD．ABCD是矩形，BC = 2 CD = 2．又 PA = PD，∠APD = 90°，E、G分別是BC、PE的中點．

（1）求證：AD⊥PE；

（2）求二面角E－AD－G的大小；

（3）求點D到平面AEG的距離．

得分

評卷人

20．（本題滿分12分）

已知函數f（x）= mx³－x² + 13（m∈R）．

（1）當m =時，求f（x）的極值；

（2）當m≠0時，若f（x）在（2，+∞）上是單調的，求m的取值范圍．

得分

評卷人

21．（本題滿分12分）

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，F（2，0）是它的一個焦點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁交雙曲線于A、B兩點，l₂交雙曲線于C、D兩點，求的值．

得分

評卷人

22．（本題滿分14分）

已知數列 { a_n } 的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，有．

（1）求證：數列 { a_n + 1 } 是等比數列，并求數列{ a_n } 的通項公式；

（2）求數列 { na_n } 的前n項和T_n；

（3）求證：當n≥3時，a_n≥．

綿陽市高中2009屆第三次診斷性考試

數學（文科）參考解答及評分標準

13．q = 1或      14．－       15．（0，）    16．16p 

17．（1）由題意得 sin（B + A）+ sin（B－A）= sin 2A，

sin B cos A = sin A cos A，即 cos A（sin B－sin A）= 0，

∴ cosA = 0 或 sin B = sin A．                                            …………… 4分

因A，B為三角形中的角，于是或B = A．

所以△ABC為直角三角形或等腰三角形．                       …………… 6分

（2）因為△ABC的面積等于 3，所以 ，得 ab = 12．

由余弦定理及已知條件，得 a² + b²－ab = 13．

聯立方程組 解得或       …………… 12分

18．（1）設“A組中恰有一名女綠化員”為事件A₁，

則 ．                                                        …………… 6分

（2）設“A組中至少有兩名女綠化員”為事件A₂，

有．                                          …………… 12分

或 ．

19．（1）如圖，取AD的中點O，連結OP，OE，于是OP⊥AD．

∵ 側面PAD⊥底面ABCD， ∴ OP⊥面ABCD．

∵ E是矩形ABCD的邊BC的中點，

∴ OE∥AB，∴ OE⊥AD，從而 AD⊥PE．…… 4分

（2）取OE的中點F，連結FG，OG，則 FG∥OP，

∴ FG⊥面ABCD，AD⊥OG，

∴ ∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角．

∵ FG =OP =，OF =CD =，

∴ ∠GOE = 45°，即二面角E－AD－G的大小為45°．  …………… 8分

（3）由（1）知，O是AD的中點，所以點D到面AEG的距離等于點O到面AEG的距離h的2倍．

∵ V_P－AOE =S_△AOE×OP =×AO ?OE ? OP =．

又 AE = AP = PE =，∴ V_O－AEP =S_△AEP ? h =×? h =h,

從而由 V_P－AOE = V_O－AEP 得 h =，故點D到面AEG的距離等于．

…………… 12分

另解（2）  以O為原點，OE、OD、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，－1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），G（，0，），∴ ，1，），，1，）．

設平面ADG的一個法向量為n₁ =（x₁，y₁，z₁），

則  且 ，于是y₁ = 0，令 x₁ = 1，得 n₁ =（1，0，－1）．顯然平面ADE的一個法向量可以為n₂ =（0，0，1）．

∵ cos<n₁，n₂>==，∴ <n₁，n₂> = 135°．

由題圖可知二面角E－AD－G的大小為45°．

20．（1）當m =時，由 f ′（x）= x²－2x = 0，得 x = 0 或 x = 2．

所以當x∈（－∞，0）時，f ′（x）＞0；x∈（0，2）時，f ′（x）＜0；x∈（2，+∞）時， f ′（x）＞0．

因此x = 0時，f（x）取極大值，f（x）_極大 = f（0）= 13；x = 2時，

f（x）取極小值，f（x）_極小= f（2）=．                               …………… 6分

（2）f ′（x）= 3mx²－2x，因為m≠0，所以f ′（x）的圖象是拋物線，與x軸始終有兩個交點（0，0）與（，0）．

若f（x）在（2，+∞）上是單調的，即f（x）在（2，+∞）上恒有

f ′（x）≥0 或f ′（x）≤0．

當m＜0時，拋物線開口向下，與x軸正方向無交點，在（2，+∞）上恒有f ′（x）＜0；

當m＞0時，拋物線開口向上，與x軸正方向的交點為（，0），只需≤2，解得m≥．

綜上，m的取值范圍是（－∞，0）∪，+∞）．   ……………  12分

21．（1）∵ 雙曲線的漸近線方程為，∴ ，

得 a² = b²，于是 c² = a² + b² = 2a² = 4，因此 a² = 2，b² = 2．

所以雙曲線的方程為．                                     …………… 3分

（2）① 當直線l₁、l₂其中一條與x軸垂直，不妨設l₁⊥x軸時，

則 ，，，．

∴ ，，

∴ ．                                                      …………… 5分

② 當直線l₁、l₂都不與x軸垂直時，

設l₁：y = k（x－2），k≠0，則 l₂：．

由  消去y，整理得（k²－1）x²－4k²x + 4k² + 2 = 0．

∵ l₁與雙曲線有兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y₁y₂ = k (x₁－2) k (x₂－2)，，，

∴ (1 + k² )(x₁－2) (x₂－2)

         = (1 + k²) [ x₁x₂－2(x₁ + x₂) + 4 ] =．            ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

綜合①②，得．                                           …………… 12分

22．（1）∵ 對任意n∈N^*，有，且 S₁ = a₁，

∴ ，得a₁ = 2．                            …………… 1分

又由，得 S_n =．

當n≥2且n∈N^* 時，

有 a_n = S_n－S_n－1 =－=，

即 a_n－3a_n－1 = 2， ∴ a_n + 1 = 3（a_n－1 + 1），

由此表明 { a_n + 1 } 是以 a₁ + 1 = 3為首項，3為公比的等比數列，

∴ a_n + 1 = 3 ? 3^n－1，有a_n = 3ⁿ－1．

故數列 { a_n } 的通項公式為a_n = 3ⁿ－1．                           …………… 5分

（2）na_n = n（3ⁿ－1）= n ? 3ⁿ－n，設數列 { n ? 3ⁿ } 的前n項和為K_n，

則 K_n = 1 ? 3¹ + 2 ? 3² + 3 ? 3³ + … + n ? 3ⁿ，

∴ 3K_n = 1 ? 3² + 2 ? 3³ + 3 ? 3⁴ + … +（n－1）3ⁿ + n ? 3ⁿ⁺¹，

兩式相減，得

－2K_n = 3¹ + 3² + 3³ + … + 3ⁿ－n ? 3ⁿ⁺¹ =－n ? 3ⁿ⁺¹，

∴ ，

因此 ．      …………… 9分

（3）3ⁿ－1 =（2 + 1）ⁿ－1 = (+++…+)－1，

因為n≥3，則展開式至少有四項，

所以 (+++ … +)－1

≥+++－1 =

≥==，不等式成立．

…………… 14分

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