高考數(shù)學專題―數(shù)學思想方法3
換元法及待定系數(shù)法
解數(shù)學問題時，通過一個或幾個新變量代替原來的變量，使得代換后的問題中僅含這些新變量的方法稱之為換元法。用這種方法解題的目的是變量研究，其實質(zhì)是移問題至新對象的知識背景中去研究，達到化難為易，化繁為簡的目的。
待定系數(shù)法的實質(zhì)是方程的思想，把待定的未知數(shù)與已知數(shù)等同看待列式即得方程。
第一講 換元法
例1、已知，求的最值。
分析：請看下面解法：
∵ ，
∴
得 的最大值為21，無最小值。
思考：上面解法是否正確？
正確解法：
解：由題意得：
故可設 ，
∵
∴當時，有最大值 ；
當時，有最小值 ；
例2、已知，求的最值；
解：可化為：
即
設
∴
∵
∴當 時，有最大值25；
當 時，在最小值 ；
例3、已知，，，求的值。
[分析] 此題條件中，的含義是，
，顯然，按此遞推公式求出，計算量較大，仔細觀察條件中，的形式與正切的倍角公式相近。由此可得解法。
解：設 ，
∵
∴
┄┄┄┄┄
例4、在曲線：上求一點，使它到直線的距離取最小值。
解： ∵
設 ，
則
又設
則點在曲線上，到直線的距離為
∵ ，∴
∴ ，
∴ 當時，有最小值2 ；
由及，得
∴ 當點坐標為 時， 到直線的距離最小，最小值為2 ；
例5、已知集合，，
求集合；
解：令，
則可設，，
∴
，
關(guān)于的二次方程有實根的充要條件是
又∵
∴
∵
∴
解得；， ， ，
∴ 原方程為
∴
∴ 所求集合
練 習
1、已知，那么的值域是 ；
2、設實數(shù)滿足，則的取值范圍是 ；
3、設，求函數(shù)的最小值；
4、設，求證：，；
5、已知，且，求的最大值與最小值；
第二講 待定系數(shù)法
例1、已知方程有一個根是解這個方程；
[分析] 根據(jù)實系數(shù)方程虛根成對原理，必有另一個根是，故方程等價于
，其中待定，求出后就可求同另二個根。
解： 設
令得, 令得；
∴,解得：，
∴原方程的根為。
例2、已知一個共100項的等比數(shù)列的前項的和，
若，求所有適合等式的值的和；
[分析] 中含有兩個字母，直覺告訴我們，去確定之值，是解題中重要的環(huán)節(jié)。
解： ∵
又 是等比數(shù)列，
∴ ，又由知，
∴ ， ，
又 ，
由得：
∴ ，
∴
∴ ，
∴
例3、曲線：的圖象與曲線：的圖象關(guān)于點對稱，求的值；
解：設是上任意一點，是關(guān)于對稱的上的點，
則有
，
∴ ，
即 ①
①與應為同一方程，
即
比較系數(shù)得。
例4、設為常數(shù)，，，且方程有等根，
求之值；
若，求使成立的值；
解：由得 , 即 ，
又 ，故 ，
因此 或
方程有等根 ，故 ；
∵ ，
又 ，
∴且 ，
因此，將與代入得。
練 習
1、已知無窮等比數(shù)列前項和為，則所有項和等于
A、 B、 1 C、 D、 任意實數(shù)
2、滿足< 500的的最大正整數(shù)是
A、 4 B、 5 C、 6 D、 7
3、在直角坐標系內(nèi)有兩點、，點在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則的值為
A、 B、 C、 1 D、 不能確定
4、如果恒等式成立，則 ； ；
5、若方程的圖象是兩條直線，則 ；
6、函數(shù)的最大值為，最小值為，則的周期是 ；
7、已知函數(shù)的最大值為7，最小值為，求此函數(shù)的解析式；
8、已知拋物線，對任意實數(shù)均過定點， 求實數(shù)之值； 求拋物線焦點到準線距離的最大值；
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