第17講 導數應用的題型與方法
一、專題綜述
1．導數的常規問題：
（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關于次多項式的導數問題屬于較難類型。
2．關于函數特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。
二、知識整合
1．導數概念的理解．
2．利用導數判別可導函數的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．
復合函數的求導法則是微積分中的重點與難點內容。課本中先通過實例，引出復合函數的求導法則，接下來對法則進行了證明。
3．要能正確求導，必須做到以下兩點：
（1）熟練掌握各基本初等函數的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數的求導法則。
（2）對于一個復合函數，一定要理清中間的復合關系，弄清各分解函數中應對哪個變量求導。
4．求復合函數的導數，一般按以下三個步驟進行：
(1）適當選定中間變量，正確分解復合關系；（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數。
也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關系，說明函數關系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數對中間變量求導，中間變量對自變量求導；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數。整個過程可簡記為分解――求導――回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。
三、例題分析
例1． 在處可導，則
思路： 在處可導，必連續 ∴
∴
例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：
�。�1）； （2）
分析：在導數定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函數f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉化為導數定義的結構形式。
解：（1）
�。�2）
說明：只有深刻理解概念的本質，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉化為導數定義的結構形式。
例3．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函數的導函數是偶函數，可導的偶函數的導函數是奇函數。
解：若為偶函數 令
∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數
另證：
∴ 可導的偶函數的導函數是奇函數
例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；
�。�2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。
分析：根據導數的幾何意義及導數的物理意義可知，函數y=f(x)在處的導數就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數。
解：（1），
，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0
因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1
�。�2）
。
例5． 求下列函數單調區間
（1） （2）
（3） （4）
解：（1） 時
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定義域為
例6．求證下列不等式
（1）
（2）
（3）
證：（1）
∴ 為上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上 ∴ 恒成立
（2）原式 令
∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
例7．利用導數求和：
�。�1）；
�。�2）。
分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉換思維角度，由求導公式，可聯想到它們是另外一個和式的導數，利用導數運算可使問題的解決更加簡捷。
解：（1）當x=1時，
�。�
當x≠1時，
∵，
兩邊都是關于x的函數，求導得
即
�。�2）∵，
兩邊都是關于x的函數，求導得。
令x=1得
，
即。
例8．設，求函數的單調區間.
分析：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力.
解：.
當時 .
（i）當時，對所有，有.
即，此時在內單調遞增.
（ii）當時，對，有，
即，此時在（0，1）內單調遞增，又知函數在x=1處連續，因此，
函數在（0，+）內單調遞增
（iii）當時，令，即.
解得.
因此，函數在區間內單調遞增，在區間
內也單調遞增.
令，解得.
因此，函數在區間內單調遞減.
例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為和。
（1）求A、B兩點的坐標； （2）求直線與的夾角。
分析：理解導數的幾何意義是解決本例的關鍵。
解 （1）由方程組
解得 A(-2，0)，B(3，5)
�。�2）由y′=2x，則，。設兩直線的夾角為θ，根據兩直線的夾角公式，
所以
說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。
例10．（2001年天津卷）設，是上的偶函數。
（I）求的值； （II）證明在上是增函數。
解：（I）依題意，對一切有，即，
∴對一切成立，
由此得到，， 又∵，∴。
（II）證明：由，得，
當時，有，此時�！嘣谏鲜窃龊瘮�。
四、04年高考導數應用題型集錦
1．（全國卷10）函數y=xcosx-sinx在下面哪個區間內是增函數（ ）
A () B (π,2π) C () D (2π,3π)
2．（全國卷22）（本小題滿分14分）已知函數f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函數f(x)的最大值；(ii)設0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
3.(天津卷9)函數)為增函數的區間是
(A) (B) (C) (D)
4.（天津卷20）（本小題滿分12分） 已知函數在處取得極值。
(I)討論和是函數的極大值還是極小值；
(II)過點作曲線的切線，求此切線方程。
（江蘇卷10）函數在閉區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
（浙江卷11）設f '(x)是函數f(x)的導函數，y=f '(x)的圖象
如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是
(A) (B) (C) (D)
（浙江卷20）設曲線y=e-x(x≥0)在點M(t,e-t}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t).
(1)求切線l的方程；(2)求S(t)的最大值。
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