2008年普通高等學校招生全國統一考試
文科數學(必修+選修I)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷1至2頁．第Ⅱ卷3至10頁．
考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．不能答在試題卷上．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么
次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題
12．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2008年普通高等學校招生全國統一考試
文科數學(必修+選修I)
第Ⅱ卷
13．設向量，若向量與向量共線，則 ．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
14．從10名男同學，6名女同學中選3名參加體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有 種（用數字作答）
15．已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段AB的中點為，則的面積等于 ．
16．平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件① ；
充要條件② ．
（寫出你認為正確的兩個充要條件）
17．（本小題滿分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設，求的面積．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
甲、乙兩人進行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發子彈．根據以往資料知，甲擊中8環，9環，10環的概率分別為0.6，0.3，0.1，乙擊中8環，9環，10環的概率分別為0.4，0.4，0.2．
設甲、乙的射擊相互獨立．
（Ⅰ）求在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中環數的概率；
（Ⅱ）求在獨立的三輪比賽中，至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中環數的概率．
20．（本小題滿分12分）
如圖，正四棱柱中，，點在上且．
（Ⅱ）求二面角的大小．
21．（本小題滿分12分）
設，函數．
（Ⅰ）若是函數的極值點，求的值；
（Ⅱ）若函數，在處取得最大值，求的取值范圍．
評分說明：
1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要
考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和
難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數．選擇題不給中間分．
一、選擇題
1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D
7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C
二、填空題
13．2 14．420 15．2
16．兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．
注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．
1．若且是，則是（ ）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
【答案】C
【解析】,在三、四象限；，在一、三象限，∴選C
2．設集合，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，∴
【高考考點】集合的運算，整數集的符號識別
3．原點到直線的距離為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【高考考點】點到直線的距離公式
4．函數的圖像關于（ ）
A．軸對稱 B． 直線對稱
C． 坐標原點對稱 D． 直線對稱
【答案】C
【解析】是奇函數，所以圖象關于原點對稱
【高考考點】函數奇偶性的性質
5．若，則（ ）
A．<< B． << C． << D． <<
【答案】C
【解析】由，令且取知<<
6．設變量滿足約束條件：，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
于是
7．設曲線在點（1，）處的切線與直線平行，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】，于是切線的斜率，∴有
8．正四棱錐的側棱長為，側棱與底面所成的角為，則該棱錐的體積為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【解析】高，又因底面正方形的對角線等于，∴底面積為
，∴體積
【備考提示】在底面積的計算時，要注意多思則少算
9．的展開式中的系數是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【易錯提醒】容易漏掉項或該項的負號
10．函數的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】，所以最大值是
【高考考點】三角函數中化為一個角的三角函數問題
【備考提示】三角函數中化為一個角的三角函數問題是三角函數在高考中的熱點問題
11．設是等腰三角形，，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意,所以，由雙曲線的定義，有
，∴
【高考考點】雙曲線的有關性質，雙曲線第一定義的應用
12．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】設兩圓的圓心分別為、，球心為，公共弦為AB，其中點為E，則為矩形，于是對角線,而，∴
【高考考點】球的有關概念，兩平面垂直的性質
13．設向量，若向量與向量共線，則 ．
【答案】 2
【解析】＝則向量與向量共線
14．從10名男同學，6名女同學中選3名參加體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有 種（用數字作答）
【答案】 420
【解析】
15．已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段AB的中點為，則的面積等于 ．
【答案】 2
【解析】設過M的直線方程為，由
∴，，由題意，于是直線方程為
，，∴，焦點F（1，0）到直線的距離
∴的面積是2
16．平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件① ；
充要條件② ．
（寫出你認為正確的兩個充要條件）
【答案】兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點；底面是平行四邊形．
注：上面給出了四個充要條件．如果考生寫出其他正確答案，同樣給分．
三、解答題
17．解：
（Ⅰ）由，得，
由，得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
所以．??????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）由正弦定理得．?????????????????????????????????????????????????? 8分
所以的面積．????????????????????????? 10分
18．解：
設數列的公差為，則
，
，
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
由成等比數列得，
即，
整理得，
解得或．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
當時，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
當時，，
于是．????????????????????????????????????????????????????? 12分
19．解：
記分別表示甲擊中9環，10環，
分別表示乙擊中8環，9環，
表示在一輪比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，
表示在三輪比賽中至少有兩輪甲擊中的環數多于乙擊中的環數，
分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲擊中環數多于乙擊中的環數．
（Ⅰ），????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ），???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
，
，
．????????????????????????????????? 12分
20．解法一：
依題設，，．
（Ⅰ）連結交于點，則．
由三垂線定理知，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
由于，
故，，
與互余．
于是．
與平面內兩條相交直線都垂直，
所以平面．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）作，垂足為，連結．由三垂線定理知，
故是二面角的平面角．????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
，
，．
，．
又，．
．
解法二：
以為坐標原點，射線為軸的正半軸，
建立如圖所示直角坐標系．
依題設，．
，．?????????????????????????????????? 3分
（Ⅰ）因為，，
故，．
又，
所以平面．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則
，．
故，．
令，則，，．?????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小為．????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．解：
（Ⅰ）．
因為是函數的極值點，所以，即，因此．
經驗證，當時，是函數的極值點．??????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）由題設，．
當在區間上的最大值為時，
，
即．
故得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
反之，當時，對任意，
，
而，故在區間上的最大值為．
綜上，的取值范圍為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．（Ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為，
直線的方程分別為，．???????????????????????????????????????????? 2分
如圖，設，其中，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化簡得，
解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，
．???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
又，所以四邊形的面積為
，
當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．????????????????????????????? 12分
解法二：由題設，，．
設，，由①得，，
故四邊形的面積為
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
，
當時，上式取等號．所以的最大值為．?????????????????????????????????????????????? 12分
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