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互化公式： 或

θ的象限由點(x,y)所在的象限確定.

例1(2007海南寧夏)⊙O₁和⊙O₂的極坐標方程分別為，．

(I)把⊙O₁和⊙O₂的極坐標方程化為直角坐標方程；

(II)求經過⊙O₁，⊙O₂交點的直線的直角坐標方程．

解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

(I)，，由得．所以．

即為⊙O₁的直角坐標方程．

同理為⊙O₂的直角坐標方程．

(II)解法一:由解得，

即⊙O₁，⊙O₂交于點(0,0)和(2,－2)．過交點的直線的直角坐標方程為y=－x．

解法二: 由,兩式相減得－4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標方程為y=－x．

評述:本題主要考查曲線的極坐標方程化為直角坐標方程的方法及兩圓公共弦所在直線方程的求法.

例2(2003全國)圓錐曲線的準線方程是                                   

   (A)  (B) (C)   (D)  

解: 由去分母后兩邊同時乘以得:,所以x²=8y ,其準線方程為y=,在極坐標系中方程為,故選C.

例3(1998年上海)以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸                       建立極坐標系,若橢圓兩焦點的極坐標分別是(1,),(1,),長軸長是4,則此                  橢圓的直角坐標方程是_______________.

   解：由已知條件知橢圓兩焦點的直角坐標為(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b²=a²-c²=3,

   故所求橢圓的直角坐標方程為=1

評述：點的直角坐標與極坐標的互化、曲線的極坐標方程與直角坐標方程的                          互化要熟練掌握.

類題:1(1995年上海)把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并且在兩種坐標系中取相同的長度單位.若曲線的極坐標方程是,則它的直角坐標方程是___________.                          (答案:3x²-y²=1)

2(1998年全國)曲線的極坐標方程=4sin化成直角坐標方程為

        (A)   x²+(y+2)²=4     (B)  x²+(y-2)²=4 

        (C)   (x-2)²+y²=4      (D)  (x+2)²+y²=4              (答案:B)

3(2002北京)已知某曲線的參數方程是(為參數)若以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,長度單位不變，建立極坐標系，則該曲線的極坐標方程是

       (A)  (B)  (C) (D)   (答案:D)

       常見的直線和圓的極坐標方程及極坐標系中的旋轉不變性:

 1、直線的極坐標方程(a>0)

    (1)過極點,并且與極軸成α角的直線的極坐標方程:=α;

    (2)垂直于極軸和極點間的距離為a的直線的極坐標方程:cos=a;

    (3)平行于極軸和極軸間的距離為a的直線的極坐標方程:sin=a;

    (4)不過極點,和極軸成角,到極點距離為a的直線的極坐標方程:

        sin(α-θ)=a.

2、圓的極坐標方程(a>0)

    (1)圓心在極點,半徑為a的圓的極坐標方程: =a;

    (2)圓心在(a,0),半徑為a的圓的極坐標方程: =2acos;

    (3)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標方程: =;

    (4)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標方程: =2asin;

    (5)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標方程: =;

    (6)圓心在(a, ₀),半徑為a的圓的極坐標方程: =2acos(-₀).

3、極坐標系中的旋轉不變性:

      曲線f(,+)=0是將曲線f(,)=0繞極點旋轉||角(時,按順

      時針方向旋轉,時,按逆時針方向旋轉)而得到.

例4(1990年全國)極坐標方程4sin²=5所表示的曲線是

    (A)圓           (B)橢圓      (C)雙曲線的一支    (D)拋物線

解:由已知極坐標方程及三角公式得:2(1-cos)=5,

  ∴2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得

    y²=5(x+),方程表示的曲線是拋物線,故選D.

評述:對于給出的極坐標方程相對于極坐標系而言不是標準的,一般將其等價轉                   化為直角坐標方程來判斷其曲線類型.

類題:1(1991年三南)極坐標方程4sin²=3表示的曲線是

      (A)二條射線  (B)二條相交直線  (C) 圓    (D) 拋物線       (答案:B)

    2(1987年全國)極坐標方程=sin+2cos所表示的曲線是

      (A)直線      (B)圓          (C)雙曲線   (D) 拋物線       (答案:B)

    3(2001年廣東、河南)極坐標方程²cos2=1所表示的曲線是

(A)兩條相交直線   (B)圓      (C)橢圓    (D)雙曲線       (答案:D)

4(2003北京)極坐標方程表示的曲線是                    

(A)圓            (B)橢圓            (C)拋物線    (D)雙曲線      (答案:D)

例5(1994年全國)極坐標方程=cos(-)所表示的曲線是

      (A) 雙曲線         (B)橢圓       (C)拋物線    (D)圓

     解:曲線=cos(-)=cos(-)是把圓=cos繞極點按逆時針方向旋

     轉而得,曲線的形狀仍然是一個圓,故選D

評述:把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程較為麻煩,利用旋轉不變性則更容易得出答案.方程cos(-₀)=0表示一條直線,方程=acos(-₀)表示半徑為,

         圓心為(,₀)的圓,要注意兩者的區(qū)別.

例6(2001年全國)極坐標方程=2sin(+)的圖形是

(A)           (B)                (C)               (D)

解:圓=2sin(+)是把圓=2sin繞極點按順時針方向旋轉而得,圓心的極坐標為(1,),故選C.

類題:1(2002江蘇)極坐標方程與=的圖形是

     (A)              (B)               (C)             (D)

(答案:B)

2(2004北京春)在極坐標系中，圓心在(且過極點的圓的方程為

(A)  (B) (C)   (D)

(答案:B)

    例7(2000年京皖春)直線=和直線sin(-)=1的位置關系

        (A) 垂直       (B) 平行        (C)   相交但不垂直    (D)  重合

     解:直線sin(-)=1是把直線sin=1繞極點按逆時針方向旋轉角          而得, 從而兩直線平行,故選B.

     評注:對直線sin(-)=1與直線sin=1的關系要十分熟悉.

    例8(2002北京春)在極坐標系中,如果一個圓的方程是r=4cosq+6sinq，那么過圓心且與極軸平行的直線方程是

(A) rsinq=3     (B) rsinq = ?3    (C) rcosq =2     (D) rcosq = ?2

解:將圓的極坐標方程化為直角坐標方程得:x²+y²=4x+6y,即(x-2)²+(y-3)²=13.

圓心為(2,3),所求直線方程為y=3,即rsinq=3,故選A.

    評述:注意直線的直角坐標方程極易求出.

   類題:1(1992年上海)在極坐標方程中,與圓=4sin相切的一條直線的方程是

       (A) sin=2  (B)cos=2  (C)cos= 4  (D) cos=- 4(答案:B)

      2(1993年上海)在極坐標方程中,過點M(2,)且平行于極軸的直線的極坐標方程是_______.                             (答案: sin=2)

3(1994年上海)已知點P的極坐標為(1,),那么過點P且垂直于極軸的

直線的極坐標方程為

        (A)=1     (B)=cos   (C)=   (D)= (答案:C)

   4(2000年全國)以極坐標系中點(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是

       (A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1)

                                                            (答案:C)

五、求曲線中點的極坐標

例9(2003上海)在極坐標系中，定點A(1,),點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B的極坐標是_________.

解:在直角坐標系中,A點坐標為(0,1),B在直線x+y=0上, AB最短,則B為,化為極坐標為.

例10(1999年上海)極坐標方程5²cos2+²-24=0所表示的曲線焦點的極坐標為__________.

     解:由5²cos2+²-24=0得5²(cos²-sin²)+²-24=0化為直角坐標方程得,該雙曲線的焦點的直角坐標為(,0)與(-,0),故所求        焦點的極坐標為(,0)、(,).

  評述:本題考查圓錐曲線極坐標方程的基礎知識,掌握點的直角坐標與極坐標                      的對應關系極為有用.

例11(2001年京皖蒙春)極坐標系中,圓=4cos+3sin的圓心的坐標是

    (A) (,arcsin)  (B)(5,arcsin)    (C)(5,arcsin)     (D)(,arcsin)

解:由= 4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-φ)(其中sinφ=)

  所以所求圓心坐標為(,arcsin),故選A.

類題：(2002上海)若A、B兩點的極坐標為A(4,),B(6,0),則AB中點的極坐標是_________.(極角用反三角函數值表示).           答案.()

六、求距離

例12(2007廣東文)在極坐標系中，直線的方程為ρsinθ=3，則點(2,)到直線的距離為___________.

解: 將直線的極坐標方程ρsinθ=3化為直角坐標系方程得:y=3,

點(2,)在直角坐標系中為(,1),故點(2,) 到直線的距離為2.

評注：本題主要考查極坐標系與直角坐標系之間的互化.

例13(1992年全國、1996年上海)極坐標方程分別是=cos和=sin的兩個圓的圓心距是

    (A)   2           (B)            (C)  1          (D)   

解法一:兩圓的圓心坐標分別為(,0)與(,),由此求得圓心距為,選D.

解法二:將極坐標方程化成直角坐標方程得(x-)²+y²=與x²+(y-)²=,

      由此求得圓心距為,選D.

評述:本題考查對極坐標的理解,理解深刻者可在極坐標系上畫出簡圖直接求解,

一般理解者,化極坐標方程為直角坐標方程也能順利得到正確答案.

例14(1997年全國)已知直線的極坐標方程為sin(+)=,則極點到該直線的距離是_______.

        解法一:化直線方程為=,根據極坐標的概念極點到該直線

的距離等于這個函數ρ的最小值,當sin(+)=1時, 取最小值即為所求.

解法二:對極坐標欠熟悉時,可把直線的極坐標方程化為直角坐標方程x+y=1,

      應用點到直線的距離公式得原點到此直線的距離為.

類題:1(2000年上海)在極坐標系中,若過點(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線= 4cos于A、B兩點，則|AB|=______.                     (答案:2)

2(2004上海)在極坐標系中,點M(4,)到直線:的距離d=__________________.                               (答案:)

七、判定曲線的對稱性

    例15(1999年全國)在極坐標系中,曲線= 4sin(-)關于

           (A)  直線=軸對稱    (B)直線=軸對稱

           (C)  點(2, )中心對稱    (D)極點中心對稱

解:把圓= 4sin繞極點按逆時針方向旋轉便得到曲線

= 4sin(-)=,

          知其圓心坐標為(2,),故圓的對稱軸為=,應選B.

   評述:方程表示的曲線是圓,為弄清軸對稱或中心對稱的問題,關鍵是求出其

        圓心的坐標.

八、求三角形面積

例16(2006上海)在極坐標系中,O是極點，設點A(4,)，B(5,)，則△OAB的面積是       .

解:如圖所示,在△OAB中，

評述:本題考查極坐標及三角形面積公式.