2006年全國初中數(shù)學競賽試題
一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）
1．在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（ ）
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
2．已知
，
，且
=8，則a的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
3．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線
上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則（ ）
（A）h<1 （B）h=1 （C）1<h<2 （D）h>2
4．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
5．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點P在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點Q．若QP=QO，則
的值為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空題 （共5小題，每小題6分，滿分30分）
6．已知a，b，c為整數(shù)，且a＋b=2006，c－a=2005．若a<b，則a＋b＋c的最大值為
．
7．如圖，面積為
的正方形DEFG內(nèi)接于
面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數(shù)，
且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則
的值
等于 ．
8．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分．那么出發(fā)后經(jīng)過 分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．
9．已知0<a<1，且滿足
，則
的值等于
．(
表示不超過x的最大整數(shù))
10．小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼．小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是 ．
三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）
11．已知
，
，
為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且≤8，
．
（1） 試寫出一個滿足條件的x；
（2） 求所有滿足條件的x．
12．設(shè)，，
為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式
①
②
求a的取值范圍．
13．如圖，點P為⊙O外一點，過點P作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．過點A作PB的平行線，交⊙O于點C．連結(jié)PC，交⊙O于點E；連結(jié)AE，并延長AE交PB于點K．求證：PE?AC=CE?KB．
14．10個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中．求n的最小值．
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