湖南省“三市七校”2007屆畢業班第二次聯考試題卷數學（理科）
命題者：南縣一中:陳敬波、沅江一中:朱清明、長煉中學:吳湘波.
考試時量:120分鐘,試卷滿分:150分.
參考公式：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，則A∩(
)等于 （ ）
A．{4，5} B．{2，4，5，7}
C．{1，6} D．{3}
2. 若
、
是兩條不重合直線，
、
是兩個不重合的平面，則∥的一個充分而不必要條件是（ ）
（A）
，
，∥且b∥ （B），
，且a∥b
（C）
，
，且∥
（D）∥，∥，且a∥b
3. 在等差數列
中，
，
，若
，則
的最小值為（ ）
（A）60 （B）62 （C）70 （D）72
4. 已知
，
，且滿足
，則下列不等式恒成立的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.以直線y= -x+1與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程為( )
A x2=4y或y2=4x B x2=2y或y2=2x
C x2=-4y或y2=-4x D x2=2y或y2=-2x
6．定義：| a × b
| = | a | | b | sin
，其中為向量a與b的夾角，若| a | = 2，| b | = 5，a ? b = ? 6，則| a
× b | =（ ）
A．-8 B．
7．已知
與
的圖象如圖所示，
則函數
的圖象可以是
8.在某城市中，A、B兩地有如右圖所示道路網，從A地到B地最近的走法有（ ）種
A 25 B 
C 
D 
9．一個三棱錐S－ABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為1，
，3，則這個三棱錐的外接球的表面積為（ ）
（A） 16π （B） 32π （C） 36π （D） 64π
10．定義在R上的函數f(x)，給出下列四個命題:
① 若f(x)是偶函數,則f(x+3)的圖象關于直線x=-3對稱；
② 若f(x+3)=-f(3-x),則f(x)的圖象關于點(3,0)對稱；
③ 若f(x+3)是偶函數,則f(x)的圖象關于直線x=3對稱;
④ y=f(x+3)與y=f(3-x)的圖象關于直線x=3對稱.
其中正確命題的個數有（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
試題卷 第 Ⅱ 卷 (非選擇題，共100分)
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。將正確答案填在答題卷上對應題號的橫線上。
11．設i是虛數單位，則
的虛部為 。
12. 已知變量
、
滿足
則
的最大值為__________。
13．若
的展開式的第7項為
，則
14. 已知
服從正態分布N(5，4)，那么P(
)=____________.
15. 對于一切實數x，令[x]為不大于x的最大整數，則函數
稱為高斯函數或取整函數，如 f(2.1)=2；若
為數列
的前n項和，則
=____________.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．(本大題滿分12分)
已知銳角△ABC中，三個內角為A、B、C，兩向量
，
，若
與
是共線向量，（1）∠A的大小；（2）求函數
取最大值時，∠B的大小
17. (本大題滿分13分)
有A，B，C，D四個城市，它們都有一個著名的旅游點依此記為a，b，c，d把A,B,Ｃ,Ｄ和a,b,c,d分別寫成左、右兩列，現在一名旅游愛好者隨機用4條線把左右全部連接起來，構成“一一對應”，已知連接一個城市與該城市的旅游點正確的得2分，連錯的得0分；
（1）求該愛好者至少得2分的概率； （2）求所得分的數學期望？
18．(本大題滿分13分) 在三棱錐S―ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分別為AB、SB的中點.
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求二面角N―CM―B的大小；
（3）求點B到平面CMN的距離.
19．(本大題滿分14分)
通過研究學生的學習行為，專家發現，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，設
表示學生注意力隨時間t (分鐘)的變化規律(越大，表明學生注意力越集中)，經過實驗分析得知：
(1)講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？
(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？
(3)一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過
適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？
20．(本大題滿分14分)
已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，右頂點為A，P是橢圓上任意一點，設該雙曲線
：以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線在第一象限內的任意一點，且
。
（1）設
的最大值為
，求橢圓離心率；（2）若橢圓離心率
時，證明：總有
成立。
21．(本大題滿分14分)
已知函數
(a為實常數)．
(1) 當a = 0時，求
的最小值；
(2)若在
上是單調函數，求a的取值范圍；
(3)設各項為正的無窮數列
滿足
證明：
≤1(n∈N*)．
一.1、A,2、C,3、B,4、D,5、C,6、B,7、A,8、C,9、A,10、D
二.11、-3；.12、1；13、
14、
15、
三.16.解：
……(2’)
整理得：
……………………………(4’)
又A為銳角，
…………………(6’)
（2）由（1）知
………………………(7’)
故
……………………………(12’)
當B=600時，Y取得最大值。……………………(13’)
17. 設答對題的個數為y，得分為
，y=0，1，2，4 ，=0，2，4，8………(1’)
∵
，
，
…………………………12分
∴AC⊥平面SDB，又SB
平面SDB，
SD=
=
，
且ED=EB.
=2
=
，
，
=
.
--------13分
是增函數，且
3分
是減函數，且
6分
，所以，講課開始25分鐘時，學生的注意力比講課開始后5分鐘更集中 9分
得：
10分
得：
12分
又
得
時
最大值為
。故
………………………(6’)
得雙曲線
則
……………(7’)
.…………(9’)
時.
與
同在
或
內……………(13’)
在[2，＋∞)上恒大于零，即
，符合要求； 2分
，g (x)在[2，＋∞)上只能恒小于零
，解得：a≤
6分
，當x＞1時
8分
，
，即
①
，∴