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1、合情推理除完全歸納法外，結論未必正確，正確得能證明，不正確得能舉出反例，既不能證明又不能舉出反例者只能算是種猜想；演繹推理只要前提和推理形式正確，結論就正確。

2、數學的發現思路常常是：計算猜想證明

3、綜合法是由因導果，分析法是執果索因，注意書寫方式上的不同；數學歸納法基于此點考慮歸入演繹推理，更嚴格地說是合歸納與演繹為一體的一種推理。

例1：三角形的三邊a、b、c分別為整數，且a≤b≤c,如果b=m(m∈N^*)，這樣的三角形有多少個？解：由已知a+b=a+m>c≥m,

a值

c可取的值

三角形的個數

1

m

1

2

m,m+1

2

3

m,m+1,m+2

3

…………

m

m,m+1,m+2,……,2m-1

m

這樣，三角形的個數為1+2+3+……+m=個

例2、已知函數f(x)的定義域為N^*,f(1)=1,f(m+n)=f(m)+f(n)+mn,求f(n)

解：f(m+1)=f(m)+1+m,f(m+1)-f(m)=1+m,f(n)=f(1)+[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+…+[f(n)-f(n-1)]

=1+2+3+……+n=

   例3、已知2cos=,計算2cos,2cos的值，并猜測2cos的值

   解：2cos=,2cos=猜測2cos=

  例4、在各項為正數的數列{a_n}中，數列的前n項和為S_n,滿足S_n=

(1)求a₁,a₂,a₃     (2)猜想a_n通項公式，并證明

解：(1)S₁=a₁=a₁²=1   ∵a₁>0∴a₁=1

S₂=a₁+a₂=1+a₂=a₂²+2a₂-1=0,a₂>0a₂=-1;同理，a₃=-

   (2)猜想：a_n=-

   證明：①n=1時，命題成立

②假設n=k時，猜想也成立，即a_k=,則當n=k+1時，

a_k+1=S_k+1-S_k=-=-(+)=-a_k+1²+2a_k+1-1=0,a_k+1>0a_k+1=,

由①、②知a_n=-