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對一道數(shù)學(xué)題的展開

賴友志

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，選好一道例題。通過一題多思，一題多解，一題多講。可以鞏固學(xué)生知識，訓(xùn)練學(xué)生思維，開拓學(xué)生視野。

例題：已知ｘ，ｙ∈Ｒ^＋且，求ｘ＋ｙ的最小值。

法一：均值不等式法

此題答案有誤。因為⑴，⑵式的等號不能同時成立，所以⑶式等號不能取。但事實上推導(dǎo)過程無誤，只不過擴大了ｘ＋ｙ的范圍。此種推導(dǎo)在選擇題時，其選擇項若是6，8，12，16，當(dāng)可排除6，8，12得16。

此法作為例子強調(diào)使用重要不等式時等號成立條件的必不可少。

法2，1的妙用

法3，構(gòu)造x+y不等式法

變式：已知x+xy+4y=5  （x,y∈R^＋）求xy取值范圍

法4，換元后構(gòu)造均值不等式法

法5，用判別式法

注意實根分布情況討論。

類似地，如2x+y=6,求的范圍也可用判別式法。

法6，三角代換法

變：0<x<1,a>0,b>0，則的最小值

法7，導(dǎo)數(shù)法

以上所涉及到的方法都是學(xué)生應(yīng)掌握的。通過一道例題講解即可復(fù)習(xí)多種方法。

2005年1月