奉賢區2009年高考模擬考試數學試卷（理科卷）2009.03
（完卷時間：120分鐘 滿分：150分）
命題人員：陶慰樹、張建權、姚志強
一、填空題：（共55分，每小題5分）
1、方程
的解是
。
2、不等式
的解集為
。
3、已知復數z＝
－i為純虛數，則實數a=
。
4、在極坐標系中，
是極點，設點
，
，則三角形OAB的面積為
5、若
的二項展開式中含
項的系數是80，則實數a的值為 ．
6、在1，2，3，4，5這五個數字中任取不重復的3個數字組成一個三位數，則組成的三位數是奇數的概率是 。（用分數表示）
7、關于函數
有下列命題：
①
的定義域是
；②是偶函數；③在定義域內是增函數；④的最大值是
，最小值是
。其中正確的命題是 。（寫出你所認為正確的所有命題序號）
8、已知直角三角形的兩直角邊長分別為
9、已知各項均為正數的等比數列
的首項
，公比為
，前n項和為
，若
，則公比為的取值范圍是
。
10、設實數
滿足
，若對滿足條件
，不等式
恒成立，則
的取值范圍是
。
11、現有31行67列表格一個，每個小格都只填1個數，從左上角開始，第一行依次為1，2，…67；第二行依次為68，69…134；…依次把表格填滿。現將此表格的數按另一方式填寫，從左上角開始，第一列從上到下依次為1，2…，31；第二列從上到下依次為32，33，…，62；…依次把表格填滿。對于上述兩種填法，在同一小格里兩次填寫的數相同，這樣的小格在表格中共有_________個。
二、選擇題：（共20分，每小題5分）
12、條件p：不等式
的解；條件q：不等式
的解。則p是q的????????????????????????（ ）
A、充分非必要條件； B、必要非充分條件；
C、充要條件； D、非充分非必要條件。
13、如圖給出了一個算法流程圖，該算法流程圖的功能是（ ）
A、求三個數中最大的數
B、求三個數中最小的數
C、按從小到大排列
D、按從大到小排列
14、在正方體
中，點E在A
且
，則???????（ ）。
（A）
，（B）
，
（C）
，（D）
.
15、設函數
的定義域為D，如果對于任意
D，存在唯一的
D使
＝c（c為常數）成立，則稱函數
在D上“與常數c關聯”。
現有函數：①
；②
；③
；④
，其中滿足在其定義域上“與常數4關聯”的所有函數是
-----（ ）
（A） ①② （B） ③④ （C） ①③④ （D） ①③
三、簡答題（75分）
16、（本題12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）
在直三棱柱ABC-A1B
(1)求異面直線B
(2)若直線A
求三棱錐A1-ABC的體積.
17、（本題14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）
已知函數
（1）將寫成
的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為
，試求角的范圍及此時函數的值域.
18、（本題14分，第（1）小題5分，第（2）小題9分）
某商場在促銷期間規定：商場內所有商品按標價的80ㄇ出售；同時，當顧客在該商場內消費滿一定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券:
消費金額(元)的范圍
[200,400)
[400,500)
[500,700)
[700,900)
…
獲得獎券的金額(元)
30
60
100
130
…
根據上述促銷方法,顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠。例如：購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優惠額為：400×0.2+30=110（元）。設購買商品的優惠率= 
。
試問：
（1） 購買一件標價為1000的商品，顧客得到的優惠率是多少？
（2） 對于標價在[500,800)（元）內的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可得到不小于
的優惠率？
19、（本題16分，第（1）小題4分，第（2）小題7分，第（3）小題5分）
已知點集
，其中
，
，點列
在L中，
為L與y軸的交點，等差數列的公差為1，
。
（1）求數列
的通項公式；
（2）若
＝
，令
；試用解析式寫出
關于
的函數。
（3）若＝，給定常數m(
),是否存在
，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由。
20、（本題19分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題9分）
已知：點P與點F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，若記點P的軌跡為曲線C。
（1）求曲線C的方程。
（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且OA⊥OB。求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標。
（3）試利用所學圓錐曲線知識參照（2）設計一個與直線
過定點有關的數學問題，并解答所提問題。
（本小題將根據你所設計問題的不同思維層次予以不同評分）
一、填空題 (每題5分)
1)
2)
3)0 4) 
5)
6) 
7）②④ 8）
9）
10）
11）7
二、選擇題(每題5分)
12、A 13、B 14、D 15、D
三、解答題
16、16、
（1）因為
，所以∠BCA（或其補角）即為異面直線
與
所成角
-------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
， -------(2分)
即異面直線與所成角大小為
。
-------(1分)
（2）直三棱柱ABC-A1B
，所以
即為直線A
。 -------(2分)
中，AB=BC=1得到
，
中，得到
， -------(2分)
所以
-------(2分)
17、
-------(1分)
=
-------(1分)
=
-------(1分)
若
為其圖象對稱中心的橫坐標，即
=0， -------(1分)
， -------(1分)
解得：
-------(1分)
（2）
， -------(2分)
即
，而
，所以
。
-------(2分)
，
， -------(2分)
所以
------(2分)
18、
，顧客得到的優惠率是
。 -------(5分)
(2)、設商品的標價為x元，則500≤x≤800 ----- -(2分)
消費金額： 400≤0.8x≤640
由題意可得：
（1）
≥
無解
------(3分)
或（2）
≥ 得：625≤x≤750 ------(3分)
因此，當顧客購買標價在
元內的商品時，可得到不小于的優惠率。------(1分)
19、（1）y＝
?
＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1
-----(1分)
與軸的交點
為
，所以
；
-----(1分)
所以
，即
，
-----(1分)
因為
在上，所以
，即
-----(1分)
（2）設
（
），
即
（） ----(1分)
（A）當
時，
----(1分)
=
=
，而
，所以
----(1分)
（B）當
時，
----(1分)
= 
=
，
----(1分)
而
，所以
----(1分)
因此
（）
----(1分)
（3）假設
，使得
，
（A）
為奇數
（一）
為奇數，則
為偶數。則
，
。則
，解得：
與矛盾。
----(1分)
（二）為偶數，則為奇數。則
，
。則
，解得：
（
是正偶數）。 ----(1分)
（B）為偶數
（一）為奇數，則為奇數。則，。則
，解得：
（
是正奇數）。
----(1分)
（二）為偶數，則為偶數。則，。則
，解得：
與矛盾。 ----(1分)
由此得：對于給定常數m(
)，這樣的總存在；當是奇數時，；當是偶數時，。
----(1分)
20、（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線＋2＝0的距離相等。 ----(1分)
由拋物線定義得：點
在以
為焦點直線＋2＝0為準線的拋物線上， ----(1分)
拋物線方程為
。 ----(2分)
解法（B）：設動點
，則
。當
時，
，化簡得：
，顯然
，而，此時曲線不存在。當時，
，化簡得：。
（2）
，
，
，
----(1分)
，
，即
，
，
----(2分)
直線為
，所以
----(1分)
----(1分)
由（a）（b）得：直線恒過定點
。
----(1分)
1、（逆命題）如果直線，且與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標原點。求證：OA⊥OB （評分：提出問題得1分，解答正確得1分）
（若，求證：
?
=0，得分相同）
2、（簡單推廣命題）如果直線L與拋物線
＝2px(p>0)相交于A、B兩點，且OA⊥OB。求證：直線L過定點（2p，0）
或：它的逆命題（評分：提出問題得2分，解答正確得1分）
3、（類比）
3．1（1）如果直線L與橢圓
＋
＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)
3．1（2）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)
3．1（3）或它的逆命題
3．2（1）如果直線L與雙曲線
－
＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)(a≠b)
3．2（2）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當MA⊥MB。求證：直線L過定點(
,0)(a≠b)
3．2（3）或它的逆命題
（評分：提出問題得3分，解答正確得3分）
4、（再推廣）
直角頂點在圓錐曲線上運動
如：如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(
,
)，且PA⊥PB。求證：直線L過定點(＋2p,－)
（評分：提出問題得4分，解答正確得3分）
5、（再推廣）
如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(,)，PA與PB的斜率乘積是常數m。求證：直線L過定點(－
,－)
（評分：提出問題得5分，解答正確得4分）
或
?
為常數
頂點在圓錐曲線上運動并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數或?為常數
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