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2009年高考數(shù)學(xué)難點突破專題輔導(dǎo)六

難點6  函數(shù)值域及求法

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實際應(yīng)用問題.

●難點磁場

(★★★★★)設(shè)m是實數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+).

(1)證明：當(dāng)m∈M時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則m∈M.

(2)當(dāng)m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值.

(3)求證：對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.

●案例探究

［例1］設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm²,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識.

錯解分析：證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

解：設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx²=4840,設(shè)紙張面積為S cm²,則S=(x+16)(λx+10)=λx²+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即λ=<1)時S取得最小值.此時高：x==88 cm,寬：λx=×88=55 cm.

如果λ∈［］可設(shè)≤λ₁<λ₂≤,則由S的表達式得：

又≥,故8－>0,

∴S(λ₁)－S(λ₂)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內(nèi)單調(diào)遞增.?

從而對于λ∈［］,當(dāng)λ=時，S(λ)取得最小值.

答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時，所用紙張面積最小.

［例2］已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞

(1)當(dāng)a=時，求函數(shù)f(x)的最小值.

(2)若對任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運算能力，屬★★★★級題目.

知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.

錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：解法一運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得.

 (1)解：當(dāng)a=時，f(x)=x++2

∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數(shù)，

∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=.

(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x²+2x+a>0恒成立.

設(shè)y=x²+2x+a,x∈［1,+∞

∵y=x²+2x+a=(x+1)²+a－1遞增，

∴當(dāng)x=1時，y_min=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)y_min=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.?

解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞

當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；

當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時，f(x)_min=3+a,

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)_min=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：

(1)求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.

(2)函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

(3)運用函數(shù)的值域解決實際問題

此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決.此類題要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,

當(dāng)m∈M時，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，故f(x)的定義域為R.

反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x²－4mx+4m²+m+>0,令Δ＜0,即16m²－4(4m²+m+)＜0,解得m>1,故m∈M.

(2)解析：設(shè)u=x²－4mx+4m²+m+,∵y=log₃u是增函數(shù)，∴當(dāng)u最小時，f(x)最小.?而u=(x－2m)²+m+,顯然，當(dāng)x=m時，u取最小值為m+,此時f(2m)=log₃(m+)為最小值.

(3)證明：當(dāng)m∈M時，m+=(m－1)+ +1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立.

∴l(xiāng)og₃(m+)≥log₃3=1.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：∵m₁=x²在(－∞,－）上是減函數(shù)，m₂=在(－∞,－）上是減函數(shù)，

∴y=x²+在x∈(－∞,－)上為減函數(shù),

∴y=x²+ (x≤－)的值域為［－，+∞.

答案：B

2.解析：令=t(t≥0),則x=.

∵y=+t=－ (t－1)²+1≤1

∴值域為(－∞,1.

答案：A

二、3.解析：t=+16×()²/V=+≥2=8.

答案：8

4.解析：由韋達定理知：x₁+x₂=m,x₁x₂=,∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²－2x₁x₂=m²－=(m－)²－,又x₁,x₂為實根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－)²－在區(qū)間(－∞,1）上是減函數(shù)，在［2，+∞上是增函數(shù)又拋物線y開口向上且以m=為對稱軸.故m=1時，

y_min=.

答案：－1 

三、5.解：(1）利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)?之差，由題意，當(dāng)x≤5時，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x>5時，只能銷售500臺，所以

y=

(2）在0≤x≤5時，y=－x²+4.75x－0.5,當(dāng)x=－=4.75(百臺）時，y_max=10.78125(萬元），當(dāng)x>5(百臺）時，y＜12－0.25×5=10.75(萬元），?

所以當(dāng)生產(chǎn)475臺時，利潤最大.?

(3）要使企業(yè)不虧本，即要求

解得5≥x≥4.75－≈0.1(百臺）或5＜x＜48(百臺）時，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺到4800臺之間時，企業(yè)不虧本.

6.解：(1）依題意(a²－1）x²+(a+1)x+1>0對一切x∈R恒成立，當(dāng)a²－1≠0時，其充要條件是，

∴a＜－1或a>.又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意.故a≤－1或a>為所求.

(2）依題意只要t=(a²－1)x²+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域為R，故有,解得1＜a≤,又當(dāng)a²－1=0即a=1時，t=2x+1符合題意而a=－1時不合題意，∴1≤a≤為所求.

7.解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺、y臺、z臺，由題意得：

x+y+z=360?                                                                                                   ①          

                                                                                        ②x>0,y>0,z≥60.                                                                                              ③?

假定每周總產(chǎn)值為S千元，則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下，為求目標(biāo)函數(shù)S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.                                                                                   ④

將④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x                                                             ⑤

∵z≥60,∴x≥30.                                                                                                    ⑥

再將④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2?2x,即S=－x+1080.由條件⑥及上式知，當(dāng)x=30時，產(chǎn)值S最大，最大值為S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分別代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.

∴每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺，彩電270臺，冰箱60臺，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為1050千元.

8.解：(1）如圖所示：設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h=,

∴S₁=πah+πbh=,

∴f(x)=                                                                                       ①

又

代入①消c，得f(x)=.

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,則

x==sinA+cosA=sin(A+).∴1＜x≤.

(2)f(x)= +6,設(shè)t=x－1,則t∈(0, －1),y=2(t+)+6在(0，－1上是減函數(shù)，∴當(dāng)x=(－1)+1=時，f(x)的最小值為6+8.