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第七節(jié)  函數(shù)的綜合應(yīng)用

【回顧與思考】

    函數(shù)應(yīng)用

【例題經(jīng)典】

一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

例1 （2006年南充市）已知點(diǎn)A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三點(diǎn)在同一直線上，試求出圖象經(jīng)過(guò)其中一點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式并畫出其圖象．（要求標(biāo)出必要的點(diǎn)，可不寫畫法）．

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的小綜合題，題目設(shè)計(jì)新穎、巧妙、難度不大，但能很好地考查學(xué)生的基本功．

一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

例2  （2005年海門市）某校八年級(jí)（1）班共有學(xué)生50人，據(jù)統(tǒng)計(jì)原來(lái)每人每年用于購(gòu)買飲料的平均支出是a元．經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查，若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購(gòu)買純凈水的費(fèi)用，另一部分是其他費(fèi)用780元，其中，純凈水的銷售價(jià)（元/桶）與年購(gòu)買總量y（桶）之間滿足如圖所示關(guān)系．

    （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

    （2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時(shí)，請(qǐng)你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個(gè)人買材料，哪一種花錢更少？

（3）當(dāng)a至少為多少時(shí)，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水一定合算？從計(jì)算結(jié)果看，你有何感想（不超過(guò)30字）？

    【點(diǎn)評(píng)】這是一道與學(xué)生生活實(shí)際緊密聯(lián)系的試題，由圖象可知，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，400）、（5，320）可確定y與x關(guān)系式，同時(shí)這也是一道確定最優(yōu)方案題，可利用函數(shù)知識(shí)分別比較學(xué)生個(gè)人購(gòu)買飲料與改飲桶裝純凈水的費(fèi)用，分析優(yōu)劣．

二次函數(shù)與圖象信息類有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

例3  一蔬菜基地種植的某種綠色蔬菜，根據(jù)今年的市場(chǎng)行情，預(yù)計(jì)從5月1日起的50天內(nèi)，它的市場(chǎng)售價(jià)y₁與上市時(shí)間x的關(guān)系可用圖（a）的一條線段表示；它的種植成本y₂與上市時(shí)間x的關(guān)系可用圖（b）中的拋物線的一部分來(lái)表示．

    （1）求出圖（a）中表示的市場(chǎng)售價(jià)y₁與上市時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式．

    （2）求出圖（b）中表示的種植成本y₂與上市時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式．

    （3）假定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純利潤(rùn)，問(wèn)哪天上市的這種綠色蔬菜既不賠本也不賺錢？

（市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/千克，時(shí)間單位：天）

    【點(diǎn)評(píng)】本題是一道函數(shù)與圖象信息有關(guān)的綜合題．學(xué)生通過(guò)讀題、讀圖．從題目已知和圖象中獲取有價(jià)值的信息，是問(wèn)題求解的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)精練】

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．在函數(shù)y=，y=x+5，y=x²的圖象中是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心是原點(diǎn)的有（  ）

    A．0個(gè)     B．1個(gè)     C．2個(gè)     D．3個(gè)

2．下列四個(gè)函數(shù)中，y隨x的增大而減少的是（  ）

    A．y=2x     B．y=-2x+5    C．y=-     D．y=-x²-2x-1

3．函數(shù)y=ax²-a與y=（a≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（  ）

4．函數(shù)y=kx-2與y=（k≠0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（  ）

5．如圖是二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c和一次函數(shù)y₂=mx+n的圖象，觀察圖象寫出y₂≥y₁時(shí)，x的取值范圍__________．

                   (第5題)                       (第6題)

6．（2006年旅順口）如圖是一次函數(shù)y₁=kx+b和反比例函數(shù)y₂=的圖象，觀察圖象寫出y₁>y₂時(shí)，x的取值范圍是_________．

7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx+k，y=（k>0）的圖像大致是（  ）

8．（2005年太原市）在反比例函數(shù)y=中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)y=kx²+2kx的圖像大致是（  ）

能力提升

9．如圖，已知反比例函數(shù)y₁=（m≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，1），一次函數(shù)y₂=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3）與點(diǎn)A，且與反比例函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)B．

    （1）分別求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

10．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D．已知OA=，tan∠AOC=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，-4）．

    （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求△AOB的面積．

11．（2005年揚(yáng)州市）近幾年，揚(yáng)州市先后獲得“中國(guó)優(yōu)秀旅游城市”和“全國(guó)生態(tài)建設(shè)示范城市”等十多個(gè)殊榮．到揚(yáng)州觀光旅游的客人越來(lái)越多，某景點(diǎn)每天都吸引大量游客前來(lái)觀光．事實(shí)表明，如果游客過(guò)多，不利于保護(hù)珍貴文物，為了實(shí)施可持續(xù)發(fā)展，兼顧社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，該景點(diǎn)擬采用浮動(dòng)門票價(jià)格的方法來(lái)控制游覽人數(shù)．已知每張門票原價(jià)40元，現(xiàn)設(shè)浮動(dòng)票價(jià)為x元，且40≤x≤70，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)一天游覽人數(shù)y與票價(jià)x之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

    （1）根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

    （2）設(shè)該景點(diǎn)一天的門票收入為w元

       ①試用x的代數(shù)式表示w；

②試問(wèn)：當(dāng)票價(jià)定為多少時(shí)，該景點(diǎn)一天的門票收入最高？最高門票收入是多少？

12．（2006年荊門市）某環(huán)保器材公司銷售一種市場(chǎng)需求較大的新型產(chǎn)品．已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元．經(jīng)銷過(guò)程中測(cè)出銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．每年銷售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支z（萬(wàn)元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷售量y（萬(wàn)件）存在函數(shù)關(guān)系z(mì)=10y+42.5．

    （1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系．

    （2）試寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利w（萬(wàn)元）關(guān)于銷售單價(jià)z（元）的函數(shù)關(guān)系式（年獲利=年銷售總金額-年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)-年總開(kāi)支金額）當(dāng)銷售單價(jià)為x為何值，年獲利最大？最大值是多少？

（3）若公司希望該種產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于57.5萬(wàn)元，請(qǐng)你利用（2）小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)的范圍．在此條件下使產(chǎn)品的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)為多少元？

應(yīng)用與探究

13．（2006年濰坊市）為保證交通完全，汽車駕駛員必須知道汽車剎車后的停止距離（開(kāi)始剎車到車輛停止車輛行駛的距離）與汽車行駛速度（開(kāi)始剎車時(shí)的速度）的關(guān)系，以便及時(shí)剎車．下表是某款車在平坦道路上路況良好剎車后的停止距離與汽車行駛速度的對(duì)應(yīng)值表：

行駛速度（千米/時(shí)）

40

60

80

…

   停止距離（米）

16

30

48

…

    （1）設(shè)汽車剎車后的停止距離y（米）是關(guān)于汽車行駛速度x（千米/時(shí)）的函數(shù)．給出以下三個(gè)函數(shù)①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax²+bx，請(qǐng)選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來(lái)描述停止距離y（米）與汽車行駛速度x（千米/時(shí)）的關(guān)系，說(shuō)明選擇理由,并求出符合要求的函數(shù)的解析式；

    （2）根據(jù)你所選擇的函數(shù)解析式，若汽車剎車后的停止距離為70米，求汽車行駛速度．

答案:

例題經(jīng)典 

例1：解：設(shè)直線AB的解析式為y=k₁x+b，則 解得k₁=-2，b=-6．

所以直線AB的解析式為y=-2x-6．

∵點(diǎn)C（m，2）在直線y=-2x-6上，∴-2m-6=2，

∴m=-4，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（-4，2），

由于A（0，6），B（-3，0）都在坐標(biāo)軸上，反比例函數(shù)的圖象只能經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-4，2），設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y=．則2=，

∴k₂=-8．即經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為y=-．

例2：（1）設(shè)y=kx+b，∵x=4時(shí)，y=400；x=5時(shí)，y=320，

∴ 

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-80x+720．

（2）該班學(xué)生買飲料每年總費(fèi)用為50×120=6000（元），

當(dāng)y=380時(shí)，380=-80x+720，得x=4.25．

該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為380×4.25+780=2395（元），

顯然，從經(jīng)濟(jì)上看飲用桶裝純凈水花錢少．

（3）設(shè)該班每年購(gòu)買純凈水的費(fèi)用為W元，

則W=xy=x（-80x+720）=-80（x-）²+1620．

∴當(dāng)x=時(shí)，W_最大值=1620．要使飲用桶裝純凈水對(duì)學(xué)生一定合算，

則50a≥W_最大值+780，即50a≥1620+780．解之得，a≥48．

所以a至少為48元時(shí)班級(jí)飲用桶裝純凈水對(duì)學(xué)生一定合算，

由此看出，飲用桶裝純凈水不僅能省錢，而且能養(yǎng)成勤儉節(jié)約的好習(xí)慣．

例3：（1）設(shè)y₁=mx+n，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，5.1），（50，2.1），

∴  解得：m=-，n=5.1，

∴y₁=-x+5.1（0≤x≤50）．

（2）又由題目已知條件可設(shè)y₂=a（x-25）²+2．因其圖象過(guò)點(diǎn)（15，3），

∴3=a（15-25）²+2，∴a=，

∴y₂=x²-x+（或y=（x-25）²+2）（0≤x≤50）

（3）第x天上市的這種綠色蔬菜的純利潤(rùn)為：y₁-y₂=（x²-44x+315（0≤x≤55）．

依題意：y₁-y₂=0，即x²-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0，解得：x₁=9，x₂=25．

所以從5月1日起的第9天或第35天出售的這種綠色蔬菜，既不賠本也不賺錢．

考點(diǎn)精練

1．B  2．B  3．A  4．B  5．-2≤x≤1  6．x>3或-2<x<0  7．D  8．D

9．（1）反比例函數(shù)解析式為y=，一次函數(shù)的解析式為y=x+3．

（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-1，2）

10．（1）反比例函數(shù)解析式為y=-，一次函數(shù)為y=-2x-3．

（2）S_△AOB=個(gè)平方單位．

11．（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，由圖象知：直線經(jīng)過(guò)（50，3500），（60，3000）兩點(diǎn)．

則，

∴函數(shù)解析式為y=6000-50x．

（2）①w=xy=x（6000-50x），即w=-50x²+6000x．

②w=-50x²+6000x=-50（x²-120x）=-50（x-60）²+180000，

∴當(dāng)票價(jià)定為60元時(shí)，該景點(diǎn)門票收入最高，此時(shí)門票收入為180000元．

12．（1）由題意，設(shè)y=kx+b，圖象過(guò)點(diǎn)（70，5），（90，3），

∴ ∴y=-x+12．

（2）由題意，得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）

=（-+12）（x-40）-10×（-x+12）-42.5

=-0.1x²+17x-642.5=-（x-85）²+80．

當(dāng)x=85時(shí)，年獲利的最大值為80萬(wàn)元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5，

整理，得x²-170x+7000=0．解得x₁=70，x₂=100．

由圖象可知，要使年獲利不低于57.5萬(wàn)元，銷售單價(jià)為70元到100元之間．

又因?yàn)殇N售單位越低，銷售量越大，

所以要使銷售量最大，又使年獲利不低于57.5萬(wàn)元，銷售單價(jià)應(yīng)定為70元．

13．解：（1）若選擇y=ax+b，

把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得，

而把x=80代入y=0.7x-12得y=44<48，所以選擇y=ax+b不恰當(dāng)；

若選擇y=（k≠0），由x，y對(duì)應(yīng)值表看出y隨x的增大而增大．

而y=（k≠0）在第一象限y隨x的增大而減小，

所以不恰當(dāng)；若選擇y=ax²+bx，

把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得 ，而把x=80代入y=0.005x²+0.2x得y=48成立．

所以選擇y=ax²+bx恰當(dāng)，解析式為y=0.005x²+0.2．

（2）把y=70代入y=0.005x²+0.2x得70=0.005x²+0.2x，

即x²+40x-14000=0，解得x=100或x=-140（舍去），

所以，當(dāng)停止距離為70米，汽車行駛速度為100千米/時(shí)．