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第五節用函數的觀點看方程（組）或不等式

【回顧與思考】

【例題經典】

利用一次函數圖象求方程（組）的解

例1 （1）（2006年陜西省）直線y=kx+b（k≠0）的圖象如圖1，則方程kx+b=0的解為 x=_______，不等式kx+b<0的解集為x_______．

（1） (2) (3)

【點評】抓住直線與x的交點就可迎刃而解．

（2）（2006年重慶市）如圖2,已知函數y=ax+b和y=kx的圖象，則方程組的解為_______．

【點評】兩直線的交點坐標即為方程組的解．

利用二次函數的圖象求二元二次方程的根或函數值的取值范圍

例2 （2006年吉林省）已知二次函數y₁=ax²+bx+c（a≠0）和直線y₂=kx+b（k≠0）的圖象如圖3，則當x=______時，y₁=0；當x______時，y₁<0；當x______時，y₁>y₂．

【點評】抓住拋物線與x軸的交點和直線與拋物線交點來觀察分析．

利用函數與方程、不等式關系解決綜合問題

例3 某醫藥研究所開發了一種新藥，在試驗藥效時發現，如果成人按規定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達每毫升6微克（1微克=10^-3毫克），接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量y（微克）隨時間x（小時）的變化如圖所示．當成人按規定劑量服藥后:

（1）分別求出x≤2和x≥2時x與y之間的函數關系式；

（2）如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長？

【點評】從圖中提供有效信息建立函數關系，并轉化為不等式為解決．

【考點精練】

基礎訓練

1．（2006年廣西省）已知y=-2x+m，當x=3時，y=1，則直線y=-2x+m與x軸的交點坐標為_______．

2．若直線y=x-2與直線y=-x+a相交于x軸，則直線y=-x+a不經過的象限是_____．

3．若不等式kx+b>0的解集為x>-2，則直線y=kx+b與x軸的交點為_____．

4．（2006年衡陽市）如圖，直線y₁=k₁x+b₁與直線y₂=k₂x+b₂交于點（-2，2），則當x____時，y₁<y₂．

(第4題) (第7題) (第8題)

5．若方程2x²+bx+c=0有兩個不相等的實數根，則拋物線y=2x²+bx+c與x軸有____個交點．

6．直線y=ax+b與y=ax²+bx+c（a≠0）的交點為（-1，2）和（3，-4），則方程組的解為_________．

7．函數y=kx+b（k、b為常數）的圖象如圖，則關于x的不等式kx+b>0的解集為（）

A．x>0 B．x<0 C．x<2 D．x>2

8．（2006年安徽省）已知甲、乙兩彈簧的長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）之間的函數解析式分別為y₁=k₁x+a₁和y₂=k₂x+a₂，圖象如圖所示，設所掛物體質量為2kg時，甲彈簧長為y₁，乙彈簧長為y₂，則y₁與y₂的大小關系為（）

A．y₁>y₂ B．y₁=y₂ C．y₁<y₂ D．不能確定

9．如圖是甲、乙兩家商店銷售同一種產品的銷售價y（元）與銷售量x（件）之間的函數圖象．下列說法：①售2件時甲、乙兩家售價一樣；②買1件時買乙家的合算；③買3件時買甲家的合算；④買乙家的1件售價約為3元，其中正確的說法是（）

A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③

10．（2006年江蘇省）如圖，L₁反映了某公司的銷售收入與銷售量的關系，L₂反映了該公司產品的銷售成本與銷售量的關系．當該公司贏利（收入大于成本）時，銷售量應（）

A．小于3噸 B．大于3噸 C．小于4噸 D．大于4噸

(第9題) (第10題)

能力提升

11．如圖，平面直角坐標系中畫出了函數y=kx+b的圖象．

（1）根據圖象，求k，b的值；

（2）在圖中畫出函數y=-2x+2的圖象；

（3）求x的取值范圍，使函數y=kx+b的函數值大于函數y=-2x+2的函數值．

12．育才中學需要添置某種教學儀器．方案1：到商家購買，每件需要8元；方案2：學校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用費120元．設需要儀器x件，方案1與方案2的費用分別為y₁，y₂（元）．

（1）分別寫出y₁，y₂的函數表達式；

（2）當購置儀器多少件時，兩種方案的費用相同？

（3）若學校需要儀器50件，問采用哪種方案便宜？請說明理由．

13．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫降價1元，商場平均每天可多出售2件．

（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？

（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？

14．如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿相同路線從甲港出發到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖象（分別是正比例函數圖象和一次函數圖象），根據圖象解答下列問題：

（1）請分別求出表示輪船和快艇行駛過程的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）輪船和快艇在途中（不包括起點和終點）行駛的速度分別是多少？

（3）問快艇出發多長時間趕上輪船？

應用與探究

15．如圖所示，設田地自動噴灌水管AB高出地面1.5米，在B處有一個自動旋轉的噴水頭，一瞬間噴出的水流是拋物線狀，噴頭B和水流最高點C的連線與水平地面成45°角，點C比B高出2米，在所建的坐標系中，求水流的落地點D到點A的距離是多少？

16．（2006年南京市）在一塊長方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長相等的邊框，制成一面鏡子，鏡子的長與寬的比是2：1，已知鏡面玻璃的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，另外制作這面鏡子還需加工費45元．設制作這面鏡子的總費用是y元，鏡子的寬是x米．

（1）求y與x之間的關系式；

（2）如果制作這面鏡子共花了195元，求這面鏡子的長和寬．

答案:

例題經典

例1：（1）-2 x>-2 （2）

例2：（1）-5或1 （2）x<-5或x>1 （3）-5<x<0

例3：（1）x≤2時，y=3x；x≥2時，y=-=6小時

考點精練

1．（，0） 2．第三象限 3．（-2，0）

4．x>-2 5．兩 6．

7．C 8．A 9．D 10．D

11．（1）k=1，b=2 （2）圖略

（3）由x+2>-2x+2得x>0

12．（1）y₁=8x，y₂=4x+120．

（2）y₁=y₂，則x=30．

（3）當x=50時，y₁=400，y₂=320，

∴y₂<y₁選用方案（2）便宜．

13．（1）設應降價x元，則（40-x）（20+2x）=1200，x₁=10，x₂=20，

∵盡快減少庫存，

∴x取20，即應降價20元．

（2）設盈利為y，則y=（40-x）（20+2x），

即y=-2x²+60x+800=-2（x-15）²+1250，

當每件降15元時，商場平均每天盈利最多．

14．（1）設表示輪船行駛過程的函數解析式為y=kx，

當x=8時，y=160，

∴8k=160，k=20，即y=20x，

快艇行駛過程的函數關系式為y=40x-80．

（2）由圖象可知，輪船在8小時內行駛了160千米，快艇在4小時內行駛了160千米，輪船速度為20千米/時，快艇速度為40千米/時．

（3）快艇出發2小時趕上輪船．

15．解析式為y=-（x-2）²+3.5（x≥0），

當y=0時，x=2±（舍負），∴AD=（2+）米．

16．（1）y=240x²+180x+45

（2）當y=195時，x₁=，x₂=-（舍去），

當x=時，2x≥1，即鏡子的長為1米，寬為米．

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