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廣東省湛江師范學院附中2009年高考模擬試題(14)

數學

一.選擇題:(每小題5分,共40分)

1.若復數是純虛數(是虛數單位，是實數)則

A.2                   B.0.5             C.-0.5             D.-2

2.函數，則

    A.0                   B.1               C.2                 D.

3.甲、乙兩名同學在5次體育測試中的成績統計如右面的莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績

分別是X_甲、X_乙，則下列結論正確的是                      

A.X_甲<X_乙；乙比甲成績穩定

B.X_甲>X_乙；甲比乙成績穩定

C.X_甲>X_乙；乙比甲成績穩定

D.X_甲<X_乙；甲比乙成績穩定

4.下面四個命題：

　　①“直線∥直線”的充要條件是“平行于所在的平面”；

②“直線⊥平面內所有直線”的充要條件是“⊥平面”；

③“直線、為異面直線”的充分不必要條件是“直線、不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分條件是“內存在不共線三點到的距離相等”；

其中正確命題的序號是

   A.①②              B.②③              C.②④              D.③④

5.公差不為0的等差數列中，有，數列已知是等比數列，且

則=   A.2               B.4               C.8                D.16

6.在△ABC中，a,b,c分別為三個內角A,B,C所對的邊，設向量，

若,則角A的大小為

A.                B.                  C.                D.

7.已知，若=

A.2006               B.4                   C.                  D.－4

8.曲線與直線兩個公共點時，實效的取值范圍是

A.          B.           C.          D.

二.填空題:(每小題5分共30分)

9.若，則的值為________.

10.在△ABC中,,若以A，B為焦點的橢圓經過點C,則該橢圓的離心率e=_  ．

11.以下命題：① 二直線平行的充要條件是它們的斜率相等；

   ② 過圓上的點與圓相切的直線方程是；

   ③ 平面內到兩定點的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓；

   ④ 拋物線上任意一點到焦點的距離都等于點到其準線的距離.

其中正確命題的標號是           .

12.右圖是一個算法的程序框圖，該算法輸出的結果是_______.

13.(坐標系與參數方程選做題)極坐標系下，直線

 與圓的公共點個數是_____．

14.(不等式選講選做題)設a，b ÎR^＋，且a+b =1，

則的最大值是_______.

15.(幾何證明選講選做題)如圖所示,AB是半徑等

于3的圓O的直徑，CD是圓0的弦,BA，DC的

延長線交于點P，若PA=4，PC=5，則∠CBD=_____．

.

三.解答題:(共6小題,要求寫出必要的解答過程或演算過程)

16.(12分)在中， 的對邊分別是，且滿足.
(1)求的大小；
(2)設m，n，且m?n的最大值是5，求的值.

17.(12分)有編號為的個學生，入坐編號為的個座位．每個學生規定

坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為，已知時，共有 種坐法．
(1)求的值；
(2)求隨機變量的概率分布列和數學期望．

18.(14分)如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F為CD

的中點.

(1)求證：AF∥平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.

19.(14分)動圓P與定圓均外切，設P點的軌

跡為C.

(1)求C的方程；

(2)過點A(3,0)作直線l交曲線C于P、Q兩點，交y軸于M點，若

當的取值范圍.

20.(14分)已知，其中e是自然常數，

(1)討論a=1時,的單調性、極值；

(2)求證：在(1)的條件下,;

(3)是否存在實數a,使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

21.(14分)已知f(x)為二次函數，不等式f(x)+2<0的解集為，且對任意，恒有

. 數列滿足，.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)設，求數列的通項公式；

(3)若(2)中數列的前項和為，求數列的前項和.

1.A   2.B   3.A   4.D   5.D  6.B   7.C   8.D   9.   10.   11.②④

12.0.75   13.2    14.   15.30⁰

16.(1)， ，

即                ………………3分

  .   

                                            ………………6分

(2)m?n=，                  ………8分

設則.則m?n=  …10分

時，m?n取最大值.

依題意得，(m?n)=                        …………12分

18．解：(1)當時，有種坐法，  ……2分   ，即，

，或（舍去）．   ．                    …………4分

(2)的可能取值是，又， ，   

  ，，                    ………………………8分

的概率分布列為：

P

…………………10分

則．                               …………………12分

18.(1)證：取CE的中點G，連FG,BG.

∵F為CD的中點，∴GF∥DE且. …………1分

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.                  …………2分

又，∴GF=AB                …………3分

∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥B   …………4分

∵平面BCE，平面BCE，∴AF∥平面BCE.                     …………5分

(2) 證：∵為等邊三角形，F為CD的中點，∴AF⊥CD                …………6分

∵DE⊥平面ACD，平面ACD，∴DE⊥AF                              …………7分

又，故AF⊥平面CDE.                                       …………8分

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.                                             …………9分

∵平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.   　　                         …………10分

(3) 解：在平面CDE內，過F作FH⊥CE于H，連BH.  ∵平面BCE⊥平面CDE，

∴FH⊥平面BCE.∴為BF和平面BCE所成的角.                   ………12分

設，則，

，Rt△中，.

∴直線和平面所成角的正弦值為　　　                        ………14分

19.解:(1)，動圓的半徑為r，則|PQ₁|=r+3，

|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，                                            ……………3分

點P的軌跡是以O₁、O₂為焦點的雙曲線右支,a=1,c=2,方程為  ……6分

(2)設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),當k不存在時,不合題意.直線PQ的方程為y=k(x-3)

則

                                                          ………………8分

由

、         ……10分

                     …………14分

20.解：(1)，                              ……1分

∴當時,,此時單調遞減,當時,,

此時f(x)單調遞增,∴f(x)的極小值為f(1)=1                                   ……4分

(2)f(x)的極小值為1,即f(x)在上的最小值為1,∴ ,      …5分

令，，                                    ……6分

當時，，在上單調遞增                            ……7分

∴  ∴在（1）的條件下，  ……9分

(3)假設存在實數，使（）有最小值3，

                                                     ……10分

① 當時，f(x)在上單調遞減，，（舍去），所以，此時f(x)無最小值.                                                       ……11分

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

，，滿足條件                               ……12分

③ 當時,在上單調遞減,，（舍去）,所以,此

時f(x)無最小值.綜上,存在實數,使得當時f(x)有最小值3.     ………14分

21.解：(1) 依題設,，即.    …2分

令，則，有，得.   ……4分

即，得.∴ .                     ………5分

(2)，則，即       ………6分

兩邊取倒數，得，即.                                ………7分

∴數列是首項為，公差為的等差數列.                        ………8分

∴.                                           ………9分

(3) ∵，                              ………10分

∴. ∴.

  ① 當為偶數時，

    .                                    ………12分

   ② 當為奇數時， .

   綜上，.                                   ………14分