2009屆湖北省黃岡市黃州區一中高考模擬卷
數學試題（理科）
命題人：楊安勝 審題人：童建輝
一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知函數
則
的值為 （ ）
A．10
B．
2．在等差數列
中，有
，則此數列的前13項之和為（ ）
A．24 B．
3. 有3個男生和3個女生站成一排照像．女生甲和女生乙必須相鄰站，而女生甲和女生乙均不與女生丙相鄰，則不同的站法有（ ）種．
A．
B．
C．
D．
4. 若
為銳角，且
，則
( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函數
的圖象如右圖所示,則必有 ( )
A．
B．
C．
D．
6．已知實數
、
滿足
，則
的最大值為 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知在
中三內角A，B，C所對的三邊長分別為a,b,c,，則“a,b,c成等比數列”是“
”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
8．正四棱錐
的五個頂點在同一個球面上,若其底面邊長為4,側棱長為
,則此球的表面積為 ( )
A．
B．
C． 
D． 
9．已知雙曲線E的離心率為e，左、右兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F2為頂點，F1為焦點,點P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點，若a|PF2|＋c|PF1|＝8a2（其中a、c分別為雙曲線的實半軸長和半焦距），則e的值為 ( )
A. B. 3 C. D.
10．設
為的邊
上一點，
為內一點，且滿足
，則
( )
A．最小值為
B．最大值為 C．最小值為
D．最大值為
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.
11．復數
在復平面上對應的點位于第一象限，則
的取值范圍是
。
12. 
的展開式中的系數是 .
13.如果ξ～B（20,
），則使P（ξ=k）取最大值的k的值是____________.
14．設連續擲兩次骰子得到的點數分別為m．n，則直線y=
x與圓(x－3)2+y2=1相交的概率是___________．
15．給出以下四個命題:
①若
，
，則
。
②函數
的反函數為
。
③函數
為奇函數。
④對于函數
，當
時，
恒成立。
其中所有真命題的序號為 .
三、解答題:本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）銳角△ABC中，角
、
、
的對邊分別是、
、
，
，向量
向量
∥
.
（Ⅰ）求邊長的取值范圍； （Ⅱ）當
時，求邊長的值．
17. （本小題滿分12分）在某次抗旱救災中，準備用炮彈射擊的方法實行人工降雨，炮彈射完或已降雨則停止射擊；已知只有5發炮彈，第一次命中積云只能使云層中的水分子凝聚，第二次命中同一積云才能降雨，每次射擊是相互獨立的，且每次命中的概率均為
，設射擊的次數為
.（Ⅰ）試問此次人工降雨成功的可能性有多大？（Ⅱ）求的分布列及
的數學期望與方差.
18．（本小題滿分12分）已知在多面體ABCDE中，AB⊥ 平面ACD，DE∥AB，AC = AD = CD = DE = 2，F為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；
（Ⅲ）求點A到平面BCD的距離的取值范圍．
19．（本小題滿分12分）
已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，直線
與橢圓在第一象限內的交點是
，點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點
，另一個焦點是
，且
。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)直線
過點
，且與橢圓交于
兩點，求
的內切圓面積的最大值。
20．（本小題滿分13分）已知函數
（
，
）．
(Ⅰ)求函數
的單調遞增區間；
(Ⅱ)若不等式
對一切正整數
恒成立，求實數
的取值范圍．
21. （本小題滿分14分）已知正項數列
滿足對一切
,有
，其中
.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)若
（為非零常數，
），問是否存在整數，使得對任意 ，都有
．
（Ⅲ） 求證: 當
時, 
.
1． C 【解析】∵
，∴
＝
.
說明：解答本題要深刻理解導數的定義,掌握概念形式,看似求極限,實則求導數,如何在極限與導數之間建立起聯系是解決本題的關鍵，導數是特殊情況下的極限，這一基本常識容易被學生忽略，從中也體現出對學生基本素質的考查.
2．C 【解析】
，所以選C．
3.
【解析】３個男生先排成一排有
種方法；女生甲和女生丙插在３個男生間及前后共四個位置中的兩個位置，有
種方法；女生乙只能排在女生甲的左側或右側，有２種方法．由分步計算原理，共有
種方法．（或
）故選．
4.
【解析】
故選項.也可求解如下：
故選項.
5． 【解析】
，由函數圖象的走向可知，單調性是先增后減再增，因此導函數的值應該是隨
由小到大，先正后負再為正，因此
，從函數圖象可以確定函數
有兩個極值點，易知方程
有相異號的兩個實數根且負根的絕對值大，由根與系數的關系可判定
，故選B.
說明：本題難度較大，綜合性強，如何從圖中得出極值點及單調性的特點是解決本題的關鍵，同時又要運用二次函數的性質解題，對一元二次方程根與系數的關系也進行了考查.由單調性得開口方向,由極值點得方程的根,由方程的根再判定字母的取值,從中也體現出對學生的思維品質有較高的要求
6．D【解析】在點（0，一1）處目標函數取得最大值為9，故選D．
7． A【解析】因為
中的三邊a,b,c成等比數列，所以
,根據余弦定理得：
由此得 
，又
，所以A+C=180
。但由
卻不能推出a,b,c成等比數列.故選擇A。
【所猜考點】余弦定理、三角形內角和、等比數列概念、基本不等式、充要條件等考點。在考綱中對以上知識點的考查都有明確的要求。
【猜題理由】此題可作為高考選擇題中的中檔題，試題考查多個知識點的綜合性。主要考查三角形的邊角之間的關系，同時又以等比數列和充要條件這兩個知識點為依托。試題基礎知識點多，對考生的要求較高，因此這是立意新穎，且質量較高的選擇題。近幾年高考題選擇題的難度不太大，所考查的都是比較基礎的知識點，但所考的知識點并不單一。大多情況在知識交匯處命題，例如充要條件的判斷往往與其他知識點結合一起進行考查。數學教學要抓基礎知識點，同時要將一些基礎知識點有機地整合形成具有綜合性的問題，提高學生靈活運用基礎知識解決綜合性問題的能力。單一的知識不利于學生綜合能力的提升。
8． 【解析】設球的半徑為
， 
為正方形
中心,在直角三角形
中
有
在直角三角形
中有:
兩式聯立解得
,故球的表面積為
,故選B
9．A 【解析】
如右圖所示,設點P的坐標為(x0,y0),
由拋物線以F2為頂點,F1為焦點,可得其準線的方
程為x＝3c, 根據拋物線的定義可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,
又由點P為雙曲線上的點,根據雙曲線的第二定義可得
＝e, 即得|PF2|＝ex0－a,
由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,
由e＞1可得e＝, 故應選A.
說明：本題難度中等偏難，且很有新意，一般地說，學生在處理圓錐曲線問題時，習慣于單一的思維，當需要同時考慮兩條(或兩條以上)圓錐曲線性質的綜合應用時，往往有些不知所措，從中也體現出對學生的思維品質有較高的要求。
10．D 【解析】 
為的邊
上一點，由
，
所以
=
.
【猜題理由】向量共線在三角形中體現，三角形面積公式
，以及基本不等式，代數式的最值問題都是高考的常考點，幾乎每年的高考題中都考這些知識點。2009年的考綱對此有明確要求。本題將這些考點聯合在一起，很有創意。既考查學生的基礎知識，同時能檢測學生綜合運用這些基本知識解決問題的能力。可作為高考中高檔選擇題出現。
【構思點撥】向量的加減運算及幾何意義，向量平行的判斷是新高考的重要內容，高考復習時要重視訓練。
11. 
12. 【解析】
．
其展開式中含的項是：
，系數等于
．
13.【解析】 
≥1,得k≤6.
所以當k≤6時，P(ξ=k+1)≥P(ξ=k),當k＞6時，P(ξ=k+1)＜P(ξ=k),其中k=6時，P(ξ=k+1)=P(ξ=k),從而k=6或7時，P(ξ=k)取得最大值.
14. 
15. ③
16. 【解析】（Ⅰ）銳角△ABC中，由
∥
得:
，
由正弦定理得：
……１分
……２分
△ABC是銳角三角形，
， ……３分
，
，
……４分
，角
……５分
由余弦定理得
……6分
，
，
， ……７分
， ……８分
，即
，
，
邊長
的取值范圍是
． ……９分
另解提示:對，用余弦定理換去
和
，仍可得．
（Ⅱ）當
時，
……１０分
……１１分
，邊長的取值為
． ……１２分
17. 【解析】（Ⅰ）設記事件A為此次射擊降雨成功，則
5次射擊均未射中積云的概率為
;
…… ２分
5次射擊中恰有一次射中積云的概率為
…… 4分
…… 6分
(Ⅱ)
的所有可能取值為2，3，4，5，
…… 7分
…… 8分
的分布列為： 2 3 4 5
P 
…… 10分
…… 11分
18．證明： （Ⅰ）∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF
平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F為CD中點，∴AF⊥CD．∵DEÌ平面CDE，CDÌ平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE． …… 3分
（Ⅱ）解法一：∵AB∥DE，AB(/平面CDE，DEÌ平面CDE，∴AB∥平面CDE，設平面ABC∩平面CDE＝l，則l∥AB．即平面ABC與平面CDE所成的二面角的棱為直線l．
∵AB^平面ADC，∴l^平面ADC．∴l^AC，l^DC．∴ÐACD為平面ABC與平面CDE所成二面角的平面角．∵AC＝AD＝CD，∴ÐACD＝60°，∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．…… 7分
（Ⅱ）解法二：如圖，以F為原點，過F平行于DE的直線為x軸，FC，FA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系．∵AC＝2，∴A(0，0，)，設AB＝x，B(x，0，)，C(0，1，0)，((AB＝(x，0，0)，((AC＝(0，1，－)，設平面ABC的一個法向量為n＝(a，b，c)，則由((AB×n＝0，((AC×n＝0，得a＝0，b＝c，不妨取c＝1，則n＝(0，，1)．∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一個法向量為((FA＝(0，0，)．
cos＜n，((FA＞＝ eq \o(\s\up8(((FA＝，＜n，((FA＞＝60°．
∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．…… 7分
（Ⅲ）解法一：設AB＝x，則x＞0．∵AB^平面ACD，∴AB^CD．又∵AF^CD，ABÌ平面ABF，AFÌ平面ABF，AB∩AF＝A，∴CD^平面ABF．∵CDÌ平面BCD，∴平面ABF^平面BCD．連BF，過A作AH^BF，垂足為H，則AH^平面BCD．線段AH的長即為點A到平面BCD的距離．在Rt△AFB中，AB＝x，AF＝CD＝，∴BF＝，AH＝＝∈(0，)．…… 12分
（Ⅲ）解法二：設AB＝x，∵AC＝CD＝DA＝2，AB^平面ACD．∴VB－ADC＝×S△ADC×BA＝××22×x＝x．
∵BC＝BD＝，CD＝2，∴S△BCD＝×2×＝，設點A到平面BCD的距離為d，則VA－BCD＝×S△BCD×d＝．∵VB－ADC＝VA－BCD．∴x＝，解得d＝∈(0，)． …… 12分
19．（Ⅰ）設橢圓方程為
，點
在直線
上，且點在軸上的射影恰好是橢圓
的右焦點
， 則點為
。-------------------1分
，而
為
，則有
則有
，所以
--------------------2分
又因為
所以
---------------------3分
所以橢圓方程為：
---------------------4分
（Ⅱ）由（1）知
,過點的直線與橢圓交于
兩點，則
的周長為
，則
（
為三角形內切圓半徑），當的面積最大時，其內切圓面積最大。
--------------------5分
設直線
方程為：
，
，則
-----------------7分
所以
----------------9分
令
，則
，所以
，而
在
上單調遞增，
所以
，當
時取等號，即當
時，的面積最大值為3，結合
，得的最大值為
----------------12分
20．【解析】（Ⅰ）
，……… 2分
由
，得
．
，
，
．
又
．
函數的單調遞增區間為
,遞減區間為
．… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式
，即為
．……………（※）
令
，當
時，
．
則不等式（※）即為
．
…9分
令
，
，
在的表達式中，當
時，
，
又時，
，
在
單調遞增，在
單調遞減．
在
時，取得最大，最大值為
．
……12分
因此，對一切正整數
，當
時，
取得最大值
．
實數
的取值范圍是
．
…………… 13分
【法二】不等式，即為．………………（※）
設
，
，
令
，得
或
．
………… 10分
當
時，
，當
時，
．
當時，取得最大值．
因此，實數的取值范圍是．
………… 13分
21. 【解析】(Ⅰ)對一切有
，
即 
, 
(
) ………… 2分
由
及
兩式相減,得: 
∴
是等差數列,且
,
.
…………
5分
說明:本小題也可以運用先猜后證(數學歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得2分,經證明給5分.
(Ⅱ)假設存在整數，使得對任意 
，都有
．
∵
∴
∴
∴
⑤
當
（
）時，⑤式即為
⑥
依題意，⑥式對都成立，∴λ<1
………… 7分
當
（）時，⑤式即為
⑦
依題意，⑦式對都成立，∴
…………
9分
∴
∴存在整數
，使得對任意，都有 …10分
（Ⅲ） 由,
知
,
因此,只需證明
.
…………11分
當
或
時,結論顯然成立.當
時,
同步練習冊答案
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