解析幾何題怎么解
安振平
高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復課時強化.
例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.
(1)寫出直線的方程；
（2）計算出點P、Q的坐標；
（3）證明：由點P發出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q.
講解: 通過讀圖, 看出點的坐標.
(1 ) 顯然, 于是 直線
的方程為；
（2）由方程組
解出 、；
（3）,
.
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.
需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?
例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程．
講解：從直線所處的位置, 設出直線的方程,
由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為
代入橢圓方程 得
化簡后，得關于的一元二次方程
于是其判別式
由已知，得△=0．即 ①
在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得
令頂點P的坐標為（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即為所求頂點P的軌跡方程．
方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
講解：∵（1）原點到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得 .
設的中點是，則
即
故所求k=±.
為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程.
例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程．
講解：（1）設, 對 由余弦定理, 得
，
解出
（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：
i) 當k存在時，設l的方程為………………①
橢圓方程為
由 得 .
于是橢圓方程可轉化為 ………………②
將①代入②，消去得 ,
整理為的一元二次方程，得 .
則x1、x2是上述方程的兩根．且
，
ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得
由①②知S的最大值為 由題意得=12 所以
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優劣：
設過左焦點的直線方程為：…………①
（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）
橢圓的方程為：
由得：于是橢圓方程可化為：……②
把①代入②并整理得：
于是是上述方程的兩根.
,
AB邊上的高,
從而
當且僅當m=0取等號，即
由題意知, 于是 .
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.
（１）求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.
講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為 得
,
根據韋達定理，得
∴線段AB的中點坐標為（）.
由已知得
故橢圓的離心率為 .
（2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直線的對稱點為
解得
由已知得
故所求的橢圓方程為 .
例6 已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；
（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.
講解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直線AB方程是
（2）連接MB，MQ，設由
點M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得
適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.
例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，
試確定實數的取值范圍．
講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示 .
=
∵
∴曲線E的方程是 .
（2）設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得
設M1（, 則
i) L與y軸重合時，
ii) L與y軸不重合時，
由①得
又∵,
∵ 或
∴0＜＜1 ,
∴ .
∵
而 ∴
∴
∴ , ,
∴的取值范圍是 .
值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應當引起警惕.
例8 直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A兩點.
（1）求證：;
（2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.
講解: （1）易求得拋物線的焦點.
若l⊥x軸，則l的方程為.
若l不垂直于x軸，可設,代入拋物線方程整理得 .
綜上可知 .
（2）設，則CD的垂直平分線的方程為
假設過F，則整理得
，.
這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.
此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯想中提升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課本！
例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？
講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,
∴M在雙曲線的右支上.
故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.
相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及，其實在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？
解析幾何解答題在歷年的高考中常考常新, 體現在重視能力立意, 強調思維空間, 是用活題考死知識的典范. 考題求解時考查了等價轉化, 數形結合, 分類討論, 函數與方程等數學思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數法, 參數法, 判別式法等數學通法.
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