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代數(shù)推理題怎么解

陜西永壽縣中學特級教師安振平

數(shù)學是“教會年輕人思考”的科學, 針對代數(shù)推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數(shù)推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數(shù)與方程, 數(shù)形結(jié)合, 分類與討論, 等價與化歸等數(shù)學思想方法貫穿于整個的解題訓練過程當中.

例1設函數(shù)，已知，時恒有，求a的取值范圍.

講解: 由

從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值.

當直線與半圓相切時，易求得舍去）.

故.

本例的求解在于關(guān)鍵在于構(gòu)造新的函數(shù), 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法, 顯示了解題思維轉(zhuǎn)換的靈活性和流暢性.

還須指出的是: 數(shù)形結(jié)合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行.

例2 已知不等式對于大于1的正整數(shù)n恒成立，試確定a的取值范圍.

講解: 構(gòu)造函數(shù)，易證(請思考:用什么方法證明呢?)為增函數(shù).

∵n是大于1的正整數(shù)，

對一切大于1的正整數(shù)恒成立，必須,

即

這里的構(gòu)造函數(shù)和例1屬于同類型, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結(jié)一些解題的小結(jié)論. 針對恒成立的問題, 函數(shù)最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請?zhí)釤捘愕男〗Y(jié)論.

例3 已知函數(shù)在區(qū)間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.

講解: 由已知二次函數(shù)配方, 得

時，的最大值為4b²+3=25.

上遞增，

關(guān)于二次函數(shù)問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫坐標在不在區(qū)間[－b，1－b], 自然引出解題形態(tài)的三種情況, 這顯示了分類討論的數(shù)學思想在解題當中的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統(tǒng)一完全依具體的數(shù)學問題而定, 需要在解題時靈活把握.

例4已知

的單調(diào)區(qū)間；

（2）若

講解: （1）對已知函數(shù) 進行降次分項變形 , 得 ,

（2）首先證明任意

事實上,

而

函數(shù) 與不等式證明的綜合題在高考中常考常新 , 是既考知識又考能力的好題型 , 在高考備考中有較高的訓練價值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!

例5 已知函數(shù)f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?

(1) 證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點P()對稱．?

(2) 令a_n＝，對一切自然數(shù)n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然數(shù)a,并證明之．?

(3) 求證：∈Ｎ).

講解: (1)關(guān)于函數(shù)的圖象關(guān)于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.

設M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關(guān)于P()的對稱點為M’（１－ｘ，１－ｙ），?

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，

故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點P()對稱.?

(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入a_n的表達式，化簡可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．?

下面用數(shù)學歸納法證明．?

設n=k(k≥２)時，3^ｋ＞ｋ^２．?

那么n=k+1，3^ｋ^＋１＞３?３^ｋ＞３ｋ^２?

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?

∴３^ｎ＞ｎ^２.?

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２?

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?

令k=1,2,…，n，得n個同向不等式，并相加得：

函數(shù)與數(shù)列綜合型問題在高考中頻頻出現(xiàn),是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數(shù)a=3嗎? 試試你的數(shù)學猜想能力.

例6 已知二次函數(shù)，設方程的兩個實根為x₁和x₂.

（1）如果，若函數(shù)的對稱軸為x=x₀，求證：x₀＞－1；

（2）如果，求b的取值范圍.

講解:（1）設，由得, 即

，

故；

（2）由同號.

①若.

又，負根舍去）代入上式得

，解得；

②若即4a－2b+3＜0.

同理可求得.

故當

對你而言, 本例解題思維的障礙點在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力.

例7 對于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動點。如果函數(shù)有且只有兩個不動點0，2，且

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）已知各項不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項；

（3）如果數(shù)列滿足，求證：當時，恒有成立.

講解: 依題意有,化簡為由違達定理, 得

解得代入表達式，由

得不止有兩個不動點，

（2）由題設得（*）

且（**）

由（*）與（**）兩式相減得：

解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項，-1為公差的等差數(shù)列，；

（3）采用反證法，假設則由（1）知

,有

，而當這與假設矛盾，故假設不成立，.

關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:

由得<0或

結(jié)論成立；

若，此時從而即數(shù)列{}在時單調(diào)遞減，由，可知上成立.

比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學解題后需要進行必要的反思, 學會反思才能長進.

例8 設a，b為常數(shù)，：把平面上任意一點

（a，b）映射為函數(shù)

（1）證明：不存在兩個不同點對應于同一個函數(shù)；

（2）證明：當，這里t為常數(shù)；

（3）對于屬于M的一個固定值，得，在映射F的作用下，M₁作為象，求其原象，并說明它是什么圖象.

講解: （1）假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函數(shù)，即與相同，

即對一切實數(shù)x均成立.

特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，假設不成立.

故不存在兩個不同點對應同函數(shù).

（2）當時，可得常數(shù)a₀，b₀，使

由于為常數(shù)，設是常數(shù).

從而.

（3）設，由此得

在映射F之下，的原象是（m，n），則M₁的原象是

消去t得，即在映射F之下，M₁的原象是以原點為圓心，為半徑的圓.

本題將集合, 映射, 函數(shù)綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識”的好題目, 具有很強的訓練價值.

例9 已知函數(shù)f(t)滿足對任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

（1）求f(1)的值;

（2）證明：對一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t；

（3）試求滿足f(t)=t的整數(shù)t的個數(shù)，并說明理由.

講解（1）為求f(1)的值，需令

令.

（2）令(※)

由,

于是對于一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t.

（3）由※及（1）可知.

下面證明當整數(shù).

(※)得

即……，

將諸不等式相加得

綜上，滿足條件的整數(shù)只有t=1，.

本題的求解顯示了對函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國高考第（21）題中得到了很好的考查.

例10 已知函數(shù)f（x）在（－1，1）上有定義，且滿足x、y∈（－1，1）有

．

（1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函數(shù)；

（2）對數(shù)列求；

（3）求證

講解（1）令則

令則為奇函數(shù).

（2），

是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列．

（3）

而

本例將函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等代數(shù)知識集于一題，是考查分析問題和解決問題能力的范例. 在求解當中，化歸出等比（等差）數(shù)列是數(shù)列問題常用的解題方法.

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