絕密★啟用前
2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）
數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）
YCY
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第I卷（選擇題 共40分）
注意事項(xiàng)：
1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡
皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．不能答在試題卷上．
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇出符合題目要求的一項(xiàng).
2．“”是“直線相互垂直”的 （ ）
A．充分必要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．從原點(diǎn)向圓作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
5．對任意的銳角，下列不等關(guān)系中正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．在正四面體P―ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是 （ ）
A．BC//平面PDF B．DF⊥PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
7．北京《財(cái)富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為 （ ）
A． B． C． D．
8．函數(shù) （ ）
A．在上遞減
B．在上遞減
C．在上遞減
D．在上遞減
第Ⅱ卷（共110分）
注意事項(xiàng)：
1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上.
2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.
9．若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 .
10．已知的值為 ，的值為 .
11．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 . （用數(shù)字作答）
12．過原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，切線的斜率為 .
13．對于函數(shù)定義域中任意的，有如下結(jié)論：
①； ②；
③ ④
當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
14．已知n次式項(xiàng)式.
如果在一種算法中，計(jì)算的值需要k－1次乘法，計(jì)算P3（x0）的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算P10（x0）的值共需要
次運(yùn)算.
下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用該算法，計(jì)算P3（x0）的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算P10（x0）的值共需要
次運(yùn)算.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（本小題共13分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.
16．（本小題共14分）
如圖，在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=，
AC⊥BD，垂足為E.
（Ⅰ）求證BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A1―BD―C1的大小；
17．（本小題共13分）
甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為
（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.
18．（本小題共14分）
如圖，直線l1：與直線l2：之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2.
（Ⅰ）分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2；
（Ⅱ）若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到l1，l2的距離之積等于d2，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅲ）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與（Ⅱ）中的曲線C相交于M1，M2兩點(diǎn)，且與l1，l2分別
交于M3，M4兩點(diǎn). 求證△OM1M2的重心與△OM3M4的重心重合.
19．（本小題共12分）
設(shè)數(shù)列
記
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求
20．（本小題共14分）
設(shè)是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間.
對任意的[0，1]上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.
（Ⅰ）證明：對任意的為含峰區(qū)間；
若為含峰區(qū)間；
（Ⅱ）對給定的r（0<r<0.5），證明：存在，使得由（Ⅰ）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r；
（Ⅲ）選取，由（Ⅰ）可確定含峰區(qū)間為（0，）或（，1），在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取類似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間，在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，）的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕地值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.
（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1―5：CBCBD 6―10：DCAA
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9． 10． 11．15 12．（1，e） e 13．②③ 14．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（共13分）
解：（I） 令，解得
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
（II）因?yàn)?/p>
所以
因?yàn)樵冢ǎ?，3）上，所以在[－1，2]上單調(diào)遞增，又由于在
[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間[－2，2]上的最大值和
最小值.
于是有，解得
故 因此
即函數(shù)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7.
解法一：
（Ⅰ）在直四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，
∵A1A⊥底面ABCD，
∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，
∵BD⊥AC， ∴BD⊥A1C.
（Ⅱ）連結(jié)A1E，C1E，A1C1.
與（Ⅰ）同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1二面角A1―BD―C1的平面角.
∵AD⊥DC， ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2， AA1=，且AC⊥BD，
∴A1C1=4，AE=1，EC=3， ∴A1E=2，C1E=2，
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2， ∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1―BD―C1的大小為90°.
（Ⅲ）過B作BF//AD交AC于F，連結(jié)FC1，
則∠C1BF就是AD與BC1所成的角.
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1， ∴BF=2，EF=1，F(xiàn)C=2，BC=DC，
∴FC1=. 在△BFC1中，
∴
即異面直線AD與BC1所成角的大小為.
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
與（Ⅰ）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.
（Ⅲ）如圖，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，，，），B（3，，0）
∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.
解法三：
（II）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為E.
連結(jié)A1E，C1E，A1C1.
與（I）同理可證，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1為二面角A1―BD―C1的平面角.
由E（0，0，0），A1（0，－1，
.
（Ⅲ）如圖，由A（0，－1，0），D（，0，0），B（，0，0），C1（0，3，）.
得.
∵
∴
∴異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos.
17．（共13分）
解：（Ⅰ）
ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0?+1?+2?+3?=1.5 （或Eξ=3?）
（Ⅱ）乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為
（Ⅲ）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B1，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B2，則A=B1+B2，B1、B2為互斥事件.
P（A）=P（B1）+P（B2）=
所以，甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為
18．（共14分）
解：（I）
（II）直線由題意得
（III）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為. 由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對稱，且l1與l2關(guān)于x軸對稱，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐標(biāo)都為，即它們的重心重合.
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為
由
由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知
于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合.
19．（共12分）
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）因?yàn)?/p>
所以
猜想：是公比為的等比數(shù)列.
證明如下： 因?yàn)?/p>
所以是首項(xiàng)為的等比數(shù)列.
（Ⅲ）
20．（共14分）
（Ⅰ）證明：設(shè)的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
當(dāng)，
這與是含峰區(qū)間.
當(dāng)
這與是含峰區(qū)間.
（II）證明：由（I）的結(jié)論可知：
當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長度為l1=x2；
當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長度為l2=1－x1；
對于上述兩種情況，由題意得
① 由①得1+x2－x1≤1+2r，即x2－x1≤2r.
又因?yàn)?i>x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r，所以 x2－x1=2r. ②
將②代入①得 x1≤0.5－r, x2≥0.5+r. ③
由①和③解得x1=0.5－r, x2=0.5+r.
所以這時(shí)含峰區(qū)間的長度l1=l2=0.5+r，即存在x1 , x2使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r.
（Ⅲ）解：對先選擇的x1, x2, x1 <x2， 由（II）可知 x1+x2=1， ④
在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x2）的情況下，x3的取值應(yīng)滿足 x3+x1=x2 , ⑤
由④與⑤可得 當(dāng)x1>x3時(shí)，含峰區(qū)間的長度為x1.
由條件x1－x3≥0.02, 得x1－(1－2x1) ≥0.02, 從而x1≥0.34.
因此，為了將含峰區(qū)間的長度縮短到0.34，只要取
x1=0.34, x2=0.66, x3=0.32.
國際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話：027-86699610 舉報(bào)郵箱：58377363@163.com