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2009屆廣東梅縣東山中學(xué)數(shù)學(xué)高考?jí)狠S特級(jí)教師押題 一

特級(jí)教師：羅琪 譚天樹

注意：望充分理解題意，理解命題思路

20、（本小題滿分14分）

    如圖，己知∆BCD中，∠BCD = 90⁰，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60⁰，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且

    （1）求證：不論為何值，總有平面BEF⊥平面ABC：

    （2）若平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°，求的值．

20、（1）證明：因?yàn)锳B⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，

又在△BCD中，∠BCD = 90⁰，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，

所以，CD⊥平面ABC，………………………………………………3分

又在△ACD中，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且

所以，EF∥CD，總有EF⊥平面ABC：EF平面BEF，

所以，不論為何值，總有平面BEF⊥平面ABC…………………………6分

（2）解：作BQ∥CD，則BQ⊥平面ABC，

所以，BQ⊥BC，BQ⊥BE，

又BQ與CD、EF共面，所以，平面BEF∩平面BCD＝BQ，

所以，∠CBE為平面BEF與平面BCD所成的二面角的平面角為60°，

所以，cos60°＝，

所以，2BM＝BE　　①…………………………9分

又，所以，＝1－，

在∆ABC內(nèi)作EM⊥BC交BC于M，

由＝1－，

又在∆BCD中，∠BCD = 90⁰，BC＝CD＝1，

所以，BD＝，又在Rt∆ABD中，∠AD B= 60⁰，

所以，AB＝，所以，EM＝（1－）　②

又＝，且BC＝1，所以，BM＝　③

由①②③得：4²＝6（1－）²＋²

²－4＋2＝0，＝2－或＝2＋（舍去）＝2－。。。。。。。。。。14分

故當(dāng)若平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°時(shí)，

21．（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列對(duì)一切正整數(shù)均有，且 ，如果，．

（1）求，的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)之積為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

21．（1）依題意：，則，

而，又，所以，                            ………………1分

同樣可求得，                                              ………………2分

（2）猜測，）                                   ………………4分

①用數(shù)學(xué)歸納法證明：顯然時(shí)猜想正確，                         ………………5分

②假設(shè)時(shí)猜想成立，即，

則時(shí)，∵，∴，即，而

故,                                     ………………6分

這就是說猜想也成立,故對(duì)任意正整數(shù)都有．      ………………7分

（3）                                                        ………………9分

證明: ，

則，                ………10分

則                         

 ∴          ………11分

設(shè),，則，

即為上的減函數(shù)，∴，故時(shí)，，   ………12分

而，∴，

∴                                               ………13分

∴，，

則，即．                                           ………14分

21．（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，并且滿足，（n∈N*）.

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）猜想{}的通項(xiàng)公式，并加以證明；

（Ⅲ）設(shè)，，且，證明：≤.

21．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）分別令，2，3，得

       ∵，∴，，.………………………………………3分

   （Ⅱ）證法一：猜想：，………………………………………………………4分

              由                   ①

        可知，當(dāng)≥2時(shí)，   ②

        ①-②，得  ，即.………………6分

        1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴；……………7分

        2）假設(shè)當(dāng)（≥2）時(shí)，.

          那么當(dāng)時(shí)，

              ，

              ∵，≥2，∴，

              ∴.

          這就是說，當(dāng)時(shí)也成立，

          ∴（≥2）.  顯然時(shí)，也適合.

         故對(duì)于n∈N*，均有.………………………………………9分

     證法二：猜想：，………………………………………………………4分

     1）當(dāng)時(shí)，成立；…………………………………………………5分

     2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，.…………………………………………………6分

        那么當(dāng)時(shí)，.

∴，

        ∴

       （以下同證法一）…………………………………………………………9分

（Ⅲ）證法一：要證≤，

     只要證≤，………………10分

     即≤，…………………11分

 將代入，得≤，

即要證≤，即≤1. …………………………12分

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分

證法二：∵，，且，

        ∴≤      ①

        當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào).   …………………………………11分

∴≤      ②

        當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào).   …………………………………12分

       ①+②，得

      （）≤，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào). ……………………………………13分

∴≤.………………………………………14分

   證法三：可先證≤.   ………………………………………10分

           ∵，

           ，≥，……………………………11分

           ∴≥，

∴≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). ………………12分

          令，，即得

          ≤，

         當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào). ………………………14分