2009屆高考數學壓軸題預測
專題六 導 數
1.
設函數
，（1）若當
時，
取得極值，求
的值，并討論的單調性；（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于
．
解析：（1）
，依題意有
，故
．
從而
．
的定義域為
，當
時，
；
當
時，
；當
時，．
從而，分別在區間
單調增加，在區間
單調減少．
（2）的定義域為
，
．
方程
的判別式
．
①若
，即
，在的定義域內，故的極值．
②若
，則
或
．若
，
，
．
當
時，
，當
時，，所以無極值．若，
，
，也無極值．
③若
，即
或
，則有兩個不同的實根
，
．
當時，
，從而
有的定義域內沒有零點，故無極值．
當時，
，
，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在
取得極值．
綜上，存在極值時，的取值范圍為
．的極值之和為
．
答案： （1）；（2）見詳解。
點評：本題主要考查對極值概念的理解以及對函數導數的綜合運用。
2. 已知函數
處取得極值2。
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）當m滿足什么條件時，在區間
為增函數；
（Ⅲ）若
圖象上任意一點，直線
的圖象切于P點，求直線L的斜率的取值范圍。
解：（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）
又在
）
（Ⅲ）直線I在P點的切線斜率
令
當
）
3.
設
是
的兩個極值點，
的導函數是
（Ⅰ）如果
，求證：
；
（Ⅱ）如果
，求
的取值范圍
；
（Ⅲ）如果
，且
時，函數
的最小值為
，求的最大值。
（I）證明：
是方程
的兩個根 1分
由且
得
2分
得
3分
（Ⅱ）解：由第（1）問知
由
，兩式相除得
即
4分
①當
時，由
即
， 
5分
令函數
，則
在
上是增函數
當時，
，即
7分
②當
時，
即
令函數
則同理可證
在
上是增函數
當
時，
綜①②所述，的取值范圍是
（Ⅲ）解：
的兩個根是 ，可設
10分
又
g(x) 
當且僅當
，即
時取等號
當時，
在
上是減函數
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com