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山東省濟寧市
2008―2009學年度高三第一階段質量檢測
數 學 試 題（理）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用2B鉛筆涂寫在答題卡
上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡
皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上。
第Ⅰ卷 （選擇題， 共60分）
一、選擇題：本大題共2小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一
1．復數
滿足
，則復數的實部與虛部之差為 （ ）
A．0 B．-1 C．-3 D．3
2．為了解一片大約一萬株樹木的生長情況，
隨機測量了其中100株樹木的底部周長
（單位：┩）.根據所得數據畫出的樣本頻
率分布直方圖如圖，那么在這片樹木中，
底部周長小于110┩的株樹大約是（ ）
A．3000 B．6000 C．7000 D．8000
3．已知集合
，
(a∈R)，若S∪T=R，則
實數a的取值范圍是 （ ）
A．-1≤a≤1 B．-1＜a≤1 C．0≤a≤1 D．0＜a≤1
4．已知數列
中，
，
利用如圖所示的程序框圖計算該數列的
第10項，則判斷框中應填的語句是 （ ）
A．n＞10 B．n≤10
C．n＜9 D．n≤9
5．已知向量
，
若a⊥b，則
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．若
，且
，則
等于（ ）
A．-56 B．56 C．-35 D．35
7．在棱長為
的正方體
內任取一點
，則點到點
的距離小于等于
的概率為 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．函數
的大致圖象為 （ ）
9．已知兩條不重合的直線
和兩個不重合的平面
，有下列命題：
① 若
，則
；
② 若
，則
；
③ 若是兩條異面直線，
，則；
④ 若
，則
.
其中正確命題的個數是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知點
滿足
，點
在圓
上，則
的最大值與最小值為 （ ）
A．6，3 B．6，2 C．5，3 D．5，2
11．設
是各項都是正數的等比數列的前
項和，若
，則公比
的取
值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．或
12．在周長為16的
中，
，則
的取值范圍是 （ ）
A．
B．（0，16） C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
注意事項：
1．第Ⅱ卷共2頁，必須用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，作圖時，可用2B鉛筆.字體
要工整，筆跡要清晰.嚴格在題號所指示的答題區域內作答.超出答題區域書寫的答案
無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。將答案填寫在答題紙上。
13．已知拋物線和雙曲線都經過點
，它們在
軸上有共同焦點，拋物線的頂點為坐
標原點，則雙曲線的標準方程是 .
14．已知函數
的圖象如圖所示，它與直線
在原點處
相切，此切線與函數圖象所圍區域（圖中陰
影部分）的面積為
，則的值為
.
15．某簡單幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、
側視圖、俯視圖的面積分別是1，2，4，則這
個幾何體的體積為 .
16．給出下列四個命題：
① 命題：“設
，若
，則
或
” 的否命題是“設，若
，則
且
”；
② 將函數
的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不
變），再向右平移
個單位長度，得到函數
的圖象；
③ 用數學歸納法證明
時，從“
”
到“
”的證明，左邊需增添的一個因式是
；
④ 函數
有兩個零點。
其中所有真命題的序號是 。
三、解答題：本大題共6個小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
在
中，
分別為角
的對邊，且滿足
。
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若
，設角
的大小為
的周長為
，求
的最大值。
18．（本小題滿分12分）
某甲有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子；某乙也有一個放有3
個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子。
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一個球，直到取到紅球為
止，求甲取球次數
的數學期望；
（Ⅱ）若甲、乙兩人各從自己的箱子里任取一球比顏色，規定同色時為甲勝，異色時為
乙勝，這個游戲規則公平嗎？請說明理由。
19．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱
中，所有的棱長都為2，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，求平面
與平面
所成的銳角的
余弦值。
20．（本小題滿分12分）
已知函數
（Ⅰ）當
時，
使不等式
，求實數
的取值范圍；
（Ⅱ）若在區間
上，函數
的圖象恒在直線
的下方，求實數的取值
范圍。
21．（本小題滿分12分）
橢圓
與直線
相交于、
兩點，且
（
為坐標原點）。
（Ⅰ）求證：
等于定值；
（Ⅱ）當橢圓的離心率
時，求橢圓長軸長的取值范圍。
22．（本小題滿分14分）
已知數列的前項和為，對一切正整數，點
都在函數
的圖象上，且在點處的切線的斜率為
。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若
，求數列
的前項和
；
（Ⅲ）設
，
，等差數列
的任一項
，其中
是
中最小的數，
，求數列的通項
公式。
參 考 答 案
一、選擇題：（每小題5分，共60分）
1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空題：（每小題4分，共16分）
13．
14．－3 15．
16．①③
三、解答題：
17．解：（Ⅰ）在
中，由
及余弦定理得
…2分
而
，則
； ………………………4分
（Ⅱ）由
及正弦定理得
，…………6分
同理
………………………8分
∴
……………………10分
∵
∴
，
∴
即
時，
。 ……………………12分
18．解：（Ⅰ）由題意知甲取球次數的取值為1，2，3，4
；
；
；
……………………4分
則甲取球次數的數學期望為
……………………6分
（Ⅱ）由題意，兩人各自從自己箱子里任取一球比顏色共有
(種) 不同的情形 ……………………8分
每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則
……………………11分
所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個游戲規則不公平。……………………12分
19．（Ⅰ）證明：取
的中點，連接
，
在三棱柱中，
所有棱長都為2，
則
，……2分
所以
平面
而
平面，
∴
……………………4分
（Ⅱ）解法一：當三棱柱的體積最大時，點
到平面的距離最大，
此時
平面. ……………………6分
設平面與平面的交線為
，
在三棱柱中，
，
平面，
∴， ……………………8分
過點作
交于點
，連接
.由，知
平面
，
∴，故
為平面與平面所成二面角的平面角。……10分
在
中，
,則
在
中，
，
,
…12分
即平面與平面所成銳角的余弦值為
。
解法二：當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時
平面.以
所在的直線分別為
軸，建立直角坐標系，依題
意得
.
由
得
，設平面的一個法向量為
而
，
則
，
取
………………10分
∵平面，
∴平面的一個法向量為
∴
，
故平面與平面所成銳角的1余弦值為。 ……………………12分
20．解：（Ⅰ）當時
，
依題意得
∵
對于x∈[1，e]有
在1區間[1，e]上為增函數， ………………2分
，即m的取值范圍是
………………4分
（Ⅱ）令
在區間（1，+∞）上，函數的圖象恒在直線的下方
等價于
，在區間（1，+∞）上恒成立。
∵
……6分
①當
時，令
，得極值點
……………………8分
若
此時
若
有g(x)∈(g(1)，+∞)也不合題意； ……………………10分
②當
，則有
，此時在區間（1，+∞）上恒有，
從而
在區間（1，+∞）上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只需滿足
即
，由此求得a的范圍是[-
，]。
綜合①②可知，當
時，函數的圖象恒在直線的下方。…12分
21．（Ⅰ）證明：
消去得
設點
，則
，…………2分
由
，
，即
化簡得
， ……………………4分
則
即
，
為定值 ……………………6分
（Ⅱ）解：由
化簡得
……………………9分
由
得
，即
故橢圓的長軸長的取值范圍是
。 ……………………12分
22．解：（Ⅰ）由在函數的圖象上
∴
（n∈N*） ……………………2分
則
，而
滿足上式，
所以數列的通項公式為
； ……………………4分
（Ⅱ）由，求導
，
∵在處的切線的斜率為，
∴
……………………6分
∴
∴
則
用錯位相減法可求得
……………………8分
（Ⅲ）由
，
∴
又∵
是中的最小數，
∵{cn}的公差是4的倍數，∴c10=4m+6（m∈N*） ……………………10分
則
，而，則
……………………12分
于是等差數列的公差為
，
則
，即為的通項公式 ……………………14分
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