Question

【題目】如圖，在豎直平面內，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點相切。BC為圓弧軌道的直徑。O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，sinα=，一質量為m的小球沿水平軌道向右運動，經A點沿圓弧軌道通過C點，落至水平軌道；在整個過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球對軌道的壓力恰好為零。重力加速度大小為g。求：

（1）水平恒力的大小和小球到達C點時速度的大小；

（2）小球到達A點時動量的大小；

（3）小球從C點落至水平軌道所用的時間。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析 本題考查小球在豎直面內的圓周運動、受力分析、動量、斜下拋運動及其相關的知識點，意在考查考生靈活運用相關知識解決問題的的能力。

解析（1）設水平恒力的大小為F0，小球到達C點時所受合力的大小為F。由力的合成法則有

①

②

設小球到達C點時的速度大小為v，由牛頓第二定律得

③

由①②③式和題給數據得

④

⑤

（2）設小球到達A點的速度大小為，作，交PA于D點，由幾何關系得

⑥

⑦

由動能定理有

⑧

由④⑤⑥⑦⑧式和題給數據得，小球在A點的動量大小為

⑨

（3）小球離開C點后在豎直方向上做初速度不為零的勻加速運動，加速度大小為g。設小球在豎直方向的初速度為，從C點落至水平軌道上所用時間為t。由運動學公式有

⑩

由⑤⑦⑩式和題給數據得

點睛 小球在豎直面內的圓周運動是常見經典模型，此題將小球在豎直面內的圓周運動、受力分析、動量、斜下拋運動有機結合，經典創新。