Question

【題目】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．現已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運行．設每個星體的質量均為m，可視為質點，引力常量為G.

(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度大小和周期；

(2)假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？

Answer 1

【答案】(1) ， 　(2)

【解析】（1）三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行，邊上一顆星受到中間星和另一顆邊上星的萬有引力提供向心力：

解得：

星體運動的周期：

（2）三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運行，設任兩個星體間間隔為L，對其中任一星體受力分析如圖則： 代入T解得：