Question

（１８分）如圖所示，在ｘｏｙ平面內，有一個圓形區域的直徑ＡＢ 與ｘ軸重合，圓心Ｏ′的坐標為（２ａ，０），其半徑為ａ，該區域內無磁場． 在ｙ軸和直線ｘ＝３ａ之間的其他區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為Ｂ．一質量為ｍ、電荷量為ｑ的帶正電的粒子從ｙ軸上某點射入磁場．不計粒子重力．
（１）若粒子的初速度方向與ｙ軸正向夾角為６０°，且粒子不經過圓形區域就能到達Ｂ點，求粒子的初速度大小ｖ１；
（２）若粒子的初速度方向與ｙ軸正向夾角為６０°，在磁場中運動的時間為Δｔ＝πｍ/３Ｂｑ，且粒子也能到達Ｂ點，求粒子的初速度大小ｖ２；
（３）若粒子的初速度方向與ｙ軸垂直，且粒子從Ｏ′點第一次經過ｘ軸，求粒子的最小初速度ｖｍ．

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

試題分析：（1）粒子不經過圓形區域就能達到B點，故粒子到達B點時的速度豎直向下，圓心必在x軸正半軸上，設粒子圓周運動的半徑為r₁，
由幾何關系得：r₁sin30°=3a－r₁（3分）；又qv₁B=m（2分）
解得：v₁=（1分）
（2）粒子在磁場中運動的周期T=，
故粒子在磁場中的運動軌跡的圓心角為α==60°（1分）
粒子到達B點的速度與x軸夾角β=30°（1分）
設粒子做圓周運動的半徑為r₂由幾何關系得：3a=2r₂sin30°+2acos²30°（3分）
又qv₂B=m，解得：v₂=（1分）
（3）設粒子從C點進入圓形區域，O′C與O′A夾角為θ，軌跡圓對應的半徑為r，由幾何關系得：
2a=rsinθ+acosθ（3分）
故當θ=60°時，半徑最小為r_m=a(2分)
又qv_mB=m，解得v_m=(1分)(其他正確解法都給分)