Question

如圖所示，A、B兩個小物體（可看成質點）的質量分別為2m、m，它們栓接在跨過定滑輪的細繩兩端，細繩不可伸長，且能承受足夠大的拉力．B物體懸吊著靜止時，A也靜止在地面上，A、B與定滑輪輪軸之間的豎直距離分別為2L、L．現將B物體豎直向上提高距離l，再將其從靜止釋放．每次細繩被拉直時A、B速度的大小立即變成相等，且速度方向相反，由于細繩被拉直的時間極短，此過程中重力的作用可以忽略不計．物體與地面接觸時，速度立即變為0，直到再次被細繩拉起．細繩始終在滑輪上，且不計一切摩擦．重力加速度為g．求
（1）細繩第一次被拉直瞬間繩對A沖量的大小；
（2）A第一次上升過程距離地面的最大高度；
（3）A運動的總路程．

Answer 1

分析：（1）根據自由落體運動的規律可以求得下降高度為l時的速度，再根據動量定理可以求得對A的沖量的大小；
（2）根據A、B組成的系統機械能守恒，可以求得A上升的最大的高度；
（3）根據AB之間每次的相互作用，找出相互作用的規律，總結歸納可以求得A運動的總路程．

解答：解：
（1）B做自由落體，下降高度為l時的速度為v₀，根據v_t²-v₀²=2ax得v₀=

2gl

此時細繩被拉直，A、B速度的大小立即變成v₁，設繩子對A、B的沖量大小為I，根據動量定理得對B：-I=mv₁-mv₀對A：I=2mv₁解得細繩第一次被拉直瞬間繩對A沖量的大小I=

2m 2gl

3

（2）由（1）可得A第一次離開地面時速度的大小v₁=

v0

3

=

2gl

3

從A離開地面到A再次回到地面的過程中，A、B組成的系統機械能守恒，假設A第一次上升過程距離地面的最大高度為x₁，則

1

2

(m+2m)

v

2 1

+mgl=2mgx1+mg(l-x1)解得    x1=

3 v 2 1

2g

=

l

3

（3）從A離開地面到A再次回到地面的過程中，A、B組成的系統機械能守恒，所以，A再次回到地面時速度的大小依然為v₁，即B再次回到距離地面高度為l時速度的大小也為v₁．此后B做豎直上拋運動，落回距離地面高度為l時速度的大小還是v₁．
根據（1）求解可得A第二次離開地面時速度的大小v₂=

v1

3

同理可求A第二次離開地面上升的最大高度為x2=

3 v 2 2

2g

=

1

32

?

3 v 2 1

2g

…
A第n次離開地面時速度的大小v_n=

vn-1

3

=

v1

3n-1

同理可求A第n次離開地面上升的最大高度為xn=

3 v 2 n

2g

=

1

32(n-1)

?

3 v 2 1

2g

由于A的質量大于B的質量，A最終會靜止在地面上．
所以A運動的總路程x=2（x₁+x₂+…+x_n+…）=

3 v 2 1

g

(1+

1

32

+…+

1

32(n-1)

+…)=

3

4

l．

點評：根據AB之間的第一次的相互作用，分析總結之后的每次相互作用的規律，根據AB相互作用的規律來解答本題，找出規律是解決本題的關鍵．