Question

【題目】如圖所示，水平地面和半徑R＝0.5 m的半圓軌道面PTQ均光滑，質量M＝1 kg、長L＝4 m的小車放在地面上，右端點與墻壁的距離為s＝3 m，小車上表面與半圓軌道最低點P的切線相平．現有一質量m＝2 kg的滑塊(可視為質點)以v0＝6 m/s的水平初速度滑上小車左端，帶動小車向右運動，小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上．已知滑塊與小車上表面的動摩擦因數μ＝0.2，取g＝10 m/s2.

(1)求小車與墻壁碰撞時滑塊的速率；

(2)求滑塊到達P點時對軌道的壓力；

(3)若半圓軌道的半徑可變但最低點P不變，為使滑塊在半圓軌道內滑動的過程中不脫離軌道，求半圓軌道半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)4 m/s (2)68 N 豎直向下

(3)R≤0.24 m或R≥0.60 m

【解析】(1)滑塊滑上小車后，小車將做勻加速直線運動，滑塊將做勻減速直線運動，設滑塊加速度為a1，小車加速度為a2，由牛頓第二定律得：

對滑塊有－μmg＝ma1

對小車有μmg＝Ma2

當滑塊相對小車靜止時，兩者速度相等，設小車與滑塊經歷時間t后速度相等，則有v0＋a1t＝a2t

滑塊的位移s1＝v0t＋a1t2

小車的位移s2＝a2t2

代入數據得Δs＝s1－s2＝3 m＜L且s2＜s，說明小車與墻壁碰撞前滑塊與小車已具有共同速度

故小車與墻壁碰撞時的速率為v1＝a2t＝4 m/s.

(2)設滑塊到達P點時的速度為vP

－μmg(L－Δs)＝mv－mv

FN－mg＝

解得FN＝68 N

根據牛頓第三定律有滑塊到達P點時對軌道的壓力FN′＝FN＝68 N，方向豎直向下．

(3)若滑塊恰能滑過半圓的最高點，設滑至最高點的速率為vQ，臨界條件為：

mg＝m

－mg·2Rmax＝mv－mv

代入數據得Rmax＝0.24 m

若滑塊恰好滑至1/4圓弧到達T點時速度為零，則滑塊也能沿半圓軌道運動而不脫離半圓軌道，此時有：

－mgRmin＝0－mv

Rmin＝0.60 m

所以，若滑塊在半圓軌道運動過程中不脫離半圓軌道，則半圓軌道的半徑必須滿足R≤0.24 m或R≥0.60 m.