Question

【題目】質量為mB=2 kg的足夠長木板B靜止于光滑水平地面上，在其右側地面上固定一豎直擋板，質量為mA=6 kg的物塊A停在B的左端，質量為mC=2 kg的小球C用長為L=0.8 m的輕繩懸掛在固定點O，繩能承受的最大拉力是小球C重力的9倍。現將小球C及輕繩拉直至水平位置后由靜止釋放，小球C在最低點與A發生正碰，碰撞時間極短，碰后小球C反彈瞬間繩剛好被拉斷。已知A、B間的動摩擦因數，木板B與擋板發生彈性碰撞，且B與擋板碰撞前已與A共速，物塊與小球均可視為質點，不計空氣阻力，取g=10 m/s2。求：

（1）小球C與A撞后瞬間，A的速度；

（2）在木板B與擋板第一次碰撞前，A相對B滑動的位移;

（3）在A、B運動的整個過程中，A相對B的總位移及B向左運動的總路程。

Answer 1

【答案】（1）4m/s；（2）2m；（3）8m，2m

【解析】

（1）對小球C下擺的過程，應用動能定理求出小球與A碰撞前瞬間的速度，再向心力公式求得小球C反彈上升的初速度，即與A碰后的速度，根據動量守恒定律求解A的速度；
（2）運用動量守恒和能量守恒求出A相對B滑動的位移；

（3）仔細分析整個運動過程，利用用動量和能量守恒、同時結合數學的等比數列進行接題；

（1）小球C下擺的過程中，根據動能定理有：

代入數據解得碰前C的速度為：，方向水中向右

設小球C與A碰撞后反彈的速度為，根據牛頓第二定律可知：

，其中，聯立可以得到：，方向水中向左

在小球C與A碰撞瞬間動量守恒，以水平向右為正方向，則：

代入數值可以得到：，方向水中向右；

（2）由題可知，木板B與擋板發生碰撞前，A與B已經共速，設速度為

以A、B為系統，以水平向右為正方向，根據動量守恒：

代入數據可以得到：，方向水平向右

設第一碰撞前，A、B相對位移為，則根據能量守恒可以得到：

代入數值可以得到：；

（3）由題可知木板B與擋板發生彈性碰撞，則碰后木板B以原速率反彈，而A仍以原速度前進，即A減速前進，木板B先向右減速然后向左加速，當再次A共速后與擋板再次發生碰撞，接著再次重復上述過程，直到最終二者動停止

設整個過程中A相對于B的總位移為，則根據能量守恒可知：

代入數據可以得到：；

由上面分析可知：第一次碰撞：，

反彈之后再次共速：，則：

第二次碰撞，反彈、共速：，則：

第三次碰撞，反彈、共速：，則：

…

每次與擋板碰撞之后，木板B都是先向左做減速運動到零之后，再反向向右加速

只研究木板B向左減速過程，只有A對B的摩擦力做負功，設木板B向左減速運動的總路程為，則根據動能定理可以得到：

根據數學等比數列知識可以得到：。