Question

如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上一輕彈簧被ab兩小球夾住，同時釋放兩小球，ab球恰好能通過各自的圓軌道的最高點，求：
（1）在水平軌道上，彈簧彈開兩小球時，a球的速度；
（2）兩小球的質(zhì)量比m_a：m_b；
（3）若m_a=m_b=m，要求ab還都能通過各自的最高點，彈簧釋放前至少具有多少彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）ab球恰好能通過各自的圓軌道的最高點，均由重力提供向心力，可根據(jù)牛頓第二定律求出兩球通過最高點時的速度；脫離彈簧到圓軌道最高點過程中，a球的機械能守恒，根據(jù)a球機械能守恒，求出彈簧彈開兩小球時a球的速度；
（2）要彈簧釋放過程中，兩球及彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒，即可由動量守恒定律求出m_a：m_b；
（3）根據(jù)釋放過程系統(tǒng)的機械守恒，求解彈簧釋放前至少具有多少彈性勢能．

解答：解：（1）ab球恰好能通過各自的圓軌道的最高點，則有均由重力提供向心力，即有
對于a球：mag=ma

v ′2 a

R

得，

v

′ a

=

gR

同理得  

v

′ b

=

gr

a球脫離彈簧到圓軌道最高點過程機械能守恒：

1

2

ma

v

2 a

=mag?2R+

1

2

ma

v

′2 a

所以a球脫離彈簧時速度：va=

5gR

同理：vb=

5gr

（2）彈簧釋放過程中，由動量守恒定律得：m_av_a=m_bv_b
得，

ma

mb

=

vb

va

=

r R

（3）若m_a=m_b=m，由動量守恒定律得v_a=v_b=v
當a球恰好能通過圓軌道的最高點時，E_彈最小，E彈=(

1

2

mgR+mg2R)×2=5mgR
答：（1）在水平軌道上，彈簧彈開兩小球時，a球的速度是

5gR

；
（2）兩小球的質(zhì)量比m_a：m_b是

r

：

R

；
（3）若m_a=m_b=m，要求ab還都能通過各自的最高點，彈簧釋放前至少具有5mgR的彈性勢能．

點評：本題從分析兩球到達最高點的臨界速度入手，根據(jù)彈簧釋放過程兩個基本規(guī)律：動量守恒和機械能守恒進行分析求解．