Question

【題目】如圖（1）所示，一根輕彈簧上端固定，下端懸掛一個質量為m的A，彈簧的勁度系數為k，用手豎直向上托起砝碼A，使砝碼A靜止于某一初始位置，此時彈簧處于壓縮狀態，如圖23（2）所示．現改變手對砝碼A的作用力，使A以某一加速度做豎直向下的勻加速直線運動．已知砝碼A向下做勻加速直線運動時，加速度的數值恰好等于在初始位置時突然撤去手的瞬時砝碼A加速度數值的一半．設在砝碼A的運動過程中，彈簧始終未超過其彈性限度．若手對砝碼A的作用力未改變方向前，砝碼A向下做勻加速直線運動的最大距離是S．則：

（1）砝碼A做勻加速直線運動的加速度a=；
（2）通過距離S所用的時間t ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）
【解析】解：設突然撤去手的瞬時，砝碼A向下運動的加速度為a．（1）設初始時刻彈簧的壓縮量為x，研究非砝碼A，由牛頓第二定律有：

kx+mg=ma

得：x=

由已知條件知，砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度 a′= ，在手對砝碼A作用力的方向即將改變的瞬時，手對砝碼的作用力為零．

若a′≥g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度未超過原長，設此時彈簧壓縮量為x′，有：

kx′+mg=ma′

可得：x′=

砝碼A向下運動的距離為：

S=x﹣x′= =

砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度為：

a′=

根據S= ，得砝碼A向下做勻加速直線運動時間為：

t= =

若 ＜a′＜g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度已超過原長，設此時彈簧伸長量為x″，有：

mg﹣kx″=ma′

得：x″=

有：S=x+x″= =

因此，此時砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度為：

a′=

時間仍為：t= =

故答案為：（1） ；（2） ．

突然撤去手的瞬時，根據牛頓第二定律列式．設突然撤去手的瞬時，砝碼A向下運動的加速度為a，砝碼A向下做勻加速直線運動的加速度 a′= ，在手對砝碼A作用力的方向即將改變的瞬時，手對砝碼的作用力為零．分兩種情況討論：（1）若a′≥g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度未超過原長，根據牛頓第二定律求出手對砝碼A的作用力為零時彈簧的壓縮量，得到砝碼A向下運動的距離，求出A的加速度，再由位移公式求時間．（2）若 ＜a′＜g，則手對砝碼A的作用力為零時，彈簧長度已超過原長，用同樣的方法求解．