Question

如圖所示,ABC為光滑軌道,其中AB段水平放置,BC段是半徑為R的圓弧,AB與BC相切于B點.A處有一豎直墻面,一輕彈簧的一端固定于墻上,另一端與一質量為M的物塊相連接,當彈簧處于原長狀態時,物塊恰能與固定在墻上的L形擋板接觸于B處但無擠壓.現使一質量為m的小球從圓弧軌道上距水平軌道高h處的D點由靜止開始下滑.小球與物塊相碰后立即共速但不粘連,物塊與L形擋板相碰后速度立即減為零也不粘連.(整個過程中,彈簧沒有超過彈性限度.不計空氣阻力,重力加速度為g)

(1)試求彈簧獲得的最大彈性勢能;
(2)求小球與物塊第一次碰后沿BC上升的最大高度;
(3)若R>>h,每次從小球接觸物塊至物塊撞擊L形擋板歷時均為Δt,則小球由D點出發經多長時間第三次通過B點?

Answer 1

(1)　(2)  (3)

解:(1)由小球運動至第一次碰前,據動能定理有:
mgh=mv₀²/2         ①                                                 (1分)
對碰撞過程,據動量守恒:
mv₀=(M+m)v₁                ②                                                  (1分)
碰后壓縮彈簧過程中,M、m及彈簧系統機械能守恒:
E_pm=(M+m)v₁²/2        ③                                                  (1分)
由①②③式聯立解得:
       ④                                                   (2分)
(2)第一次碰后小球向BC軌道運動的初速度即為v₁,由機械能守恒得:
        ⑤                                                   (1分)
由①②⑤式聯立解得:      ⑥                               (2分)
(3)小球在BC段運動可等效為單擺,其周期為:
          ⑦                                                 (1分)
分析得小球第三次通過B點歷時為:
         ⑧                                                 (2分)
由⑦⑧式聯立解得:      ⑨                               (2分)