Question

制備納米薄膜裝置的工作電極可簡化為真空中間距為d的兩平行極板，如圖甲所示．加在極板A、B間的電壓U_AB按圖乙所示規律變化：在0-T₀時間內電壓為U₀，此后電壓呈周期性變化，電壓大小為kU₀，電壓變化的周期為2τ．在t=0時，極板B附近的一個電子，質量為m、電荷量為e，受電場作用由靜止開始運動．若無論經過多長的時間，這個電子既未碰到極板A，也沒有碰到極板B，且不考慮重力作用．
（1）d的取值必須滿足什么條件？
（2）k的取值以及T₀與τ之間的關系必須滿足什么條件？
（3）現逐漸增大k的值，使得電子第一次向B極板運動時就能碰到B板，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）電子在0～T₀時間內做勻加速運動，在T₀～T₀+τ時間內向上先做勻減速運動，后向下做初速度為零的勻加速運動，電子不能到達極板A的條件為電子運動位移之和小于板間距離
根據牛頓第二定律和運動學公式結合求解．
（2）無論經過多長的時間，要使電子既未碰到極板A，也沒有碰到極板B，則電子在T₀時間后做往復運動，在每個周期內位移為零，根據T₀時刻的速度求解k的取值以及T₀與τ之間的關系．
（3）電子第一次B板運動時，先加速后減小，根據位移公式得到k的表達式，即可求出k的最小值．

解答：解：（1）電子在0～T₀時間內做勻加速運動，位移為d₁=

1

2

a1

T

2 0

，又a₁=

eT0

md

，得d1=

eT0

2md

T

2 0

．
T₀～T₀+τ時間內先向上做勻減速運動，后向下做初速度為零的勻加速運動，勻減速運動的位移為
  d₂=

v 2 1

2a2

，
又a₂=

keU0

md

，v₁=a₁T₀
d＞d₁+d₂
解得  d＞

(k+1)eU0 T 2 0

2kmd

（2）據題分析得，要使電子沒有碰到極板B，則有
   d₂＜d₁
又a₁T₀=a₂

τ

2

結合（1）中各式，得
   k=

2T0

τ

，T₀＞

τ

2

（3）要使得電子第一次向B極板運動時就能碰到B板，則有
  d₁+d₂≤2×

1

2

a2(τ-t)2，t=

v1

a2

解得 k≥

T 2 0 +4τT0+ T 4 0 +16τ2 T 2 0

4τ2

或k≥

T 2 0 +4τT0- T 4 0 +16τ2 T 2 0

4τ2

所以k_min=

T 2 0 +4τT0+ T 4 0 +16τ2 T 2 0

4τ2

答：（1）d的取值必須滿足的條件是d＞

(k+1)eU0 T 2 0

2kmd

．
（2）k的取值是

2T0

τ

，T₀與τ之間的關系必須滿足的條件T₀＞

τ

2

．
（3）現逐漸增大k的值，使得電子第一次向B極板運動時就能碰到B板，k的最小值是

T 2 0 +4τT0+ T 4 0 +16τ2 T 2 0

4τ2

．

點評：電子在交變電場中的變加速運動問題是考察的熱點，重要的是分析清楚電子的運動情景，同時這種問題運算量較大，過程較為復雜，給學生造成較大的難度