Question

如圖所示（俯視)，MN和PQ是兩根 固定在同一水平面上的足夠長且電阻不 計的平行金屬導軌，兩導軌間距為 L=0。2m,其間有一個方向垂直水平面豎直 向下的勻強磁場B₁=5.0T。導軌上NQ之 間接一電阻R₁=0.4Ω,阻值為R₂=0.1Ω的 金屬桿垂直導軌放置并與導軌始終保持 良好接觸。兩導軌右端通過金屬導線分別 與電容器的兩極相連。電容器C極扳緊靠 準直裝置b，b緊挨著帶小孔a (只能容一個粒子通過）的固定絕緣彈性圓筒。圓簡壁光滑，簡內有垂直水平面豎直向下的勻強磁場 B₂, O是圓筒的圓心，圓筒的內半徑r=0.4m。

(1)  用一個方向平行于MN水平向左且功率恒定為P＝80W的外力F拉金屬桿，使桿從靜 止開始向左運動.已知桿受到的摩掠阻力大小恒為F₁＝6N,求：當金屬桿最終勻速運 動時桿的速度大小？

(2)  當金屬桿處于(I)問中的勻速運動狀態時，電容器內緊靠極板D處的一個帶正電的粒 子經電場加速后從a孔垂直磁場B₂并正對著圓心O進入圓筒，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒。已知該帶電粒子每次與筒壁發生碰撞時電量和能量都不損失，不計粒子的初速度、重力和空氣阻力，粒子的比荷=5x10⁷(C/kg),求磁感應強度B₂的大小（結果可以用三角函數表示）?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（1）金屬桿先做加速度變小的加速運動，最終以最大速度勻速運動。設桿勻速運動時速度為，回路中的感應電流為I，桿受到的安培力大小為F_A，則

①    

 ②     

 ③

聯立①、②、③將已知代入數據解得 ④

（2）設桿勻速運動時C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進入圓筒的速率為,在磁場中作勻速圓周運動的半徑為R，由于C與電阻R₁并聯，據歐姆定律得    ⑤

據動能定理，有       ⑥

帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動，⑦

聯立⑤、⑥、⑦得： ⑧

由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時無電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個碰撞點與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內的軌跡具有對稱性，由5段相同的圓弧組成，設每段軌跡圓弧對應的圓心角為，則由幾何關系可得：  ⑨

有兩種情形符合題意（如圖所示）：

(i)情形1：每段軌跡圓弧對應的圓心角為聯立⑧、⑨并代入值得：  ⑩

將數據代入(9)式得： 

 (ii)情形2：每段軌跡圓弧對應的圓心角為   聯立⑧、⑨并代入θ值得：

代入數據，可得：

評分標準：本題19分。（1）問7分，①、②、③式各2分,④式1分；（2）問10分，⑧式2分，⑤、⑥、⑦、⑨、⑩、、、式各1分