Question

如圖，A、B、C是半徑R=5m的圓筒上一圓的三點，O為其圓心，AC垂直OB．在圓O平面加一場強E=2.5×10³V/m、水平向右、寬度與直徑相同的勻強電場．現通過圓筒上唯一的小孔A沿AC直徑射入速率為v的一帶電粒子S，粒子質量m=2.5×10^-7kg、電量q=1.0×10^-7C，粒子S恰好能沿曲線直接運動到B點（不計粒子重力和粒子間的相互作用），求：
（1）粒子S的速率v為多大；
（2）若粒子S與筒壁的碰撞是彈性的（粒子S沿半徑方向的分速度碰撞后反向、速度大小不變；垂直半徑方向的分速度碰撞后不變），則粒子S在圓筒中運動的總時間是多少．

Answer 1

分析：帶電粒子從A點垂直進入電場，在電場力的作用下，帶電粒子由A點做類平拋運動到B點，粒子S與筒壁發生彈性碰撞，碰后帶電粒子又從B點做曲線運動到C點，在C點發生彈性碰撞；帶電粒子在C點碰后的速度與在A點的速度等大方向（根據碰撞是彈性），所以帶電粒子又在電場力的作用下由C點做類平拋運動到B點，在B點發生彈性碰撞后，又從B做曲線運動到A的點，在A點時速度方向與進入電場時的速度等大方向，故帶電粒子離開電場．一定注意：粒子S與筒壁是彈性碰撞．

解答：解：（1）粒子運動到B點的時間為t₁，加速度a，根據牛頓第二定律：qE=ma                 
代入數據得a=1000m/s²．   ①
由A到B，根據類平拋運動公式得：
在AC方向，R=vt₁ ②
在水平方向，R=

1

2

at₁²      ③
聯立①②③解之得：t₁=0.1s，v=50m/s 
（2）根據粒子S與筒壁的碰撞是彈性且只在電場力的作用下，粒子由A到B做類平拋運動，粒子與B點碰撞后沿拋物線運動到C點，然后沿原來的軌跡運動到B點，碰撞后回到A點．粒子運動軌跡如圖所示，根據對稱性，可知粒子在圓筒中運動的總時間t=4t₁=0.4s．
答：粒子S的速率v為50m/s；（2）若粒子S與筒壁的碰撞是彈性的（粒子S沿半徑方向的分速度碰撞后反向、速度大小不變；垂直半徑方向的分速度碰撞后不變），則粒子S在圓筒中運動的總時間是0.4s．

點評：根據粒子S與筒壁的是彈性碰撞，分析帶電粒子的運動情況是解本題的關鍵，巧利用運動的對稱性是求解運動時間的依據．