Question

在豎直平面內建立一平面直角坐標系xoy，x軸沿水平方向，如圖甲所示．第二象限內有一水平向右的勻強電場，場強為E₁．坐標系的第一、四象限內有一正交的勻強電場和勻強交變磁場，電場方向豎直向上，場強E2=

E1

2

，勻強磁場方向垂直紙面．處在第三象限的某種發射裝置（圖中沒有畫出）豎直向上射出一個比荷

q

m

=102C/kg的帶正電的微粒（可視為質點），該微粒以v₀=4m/s的速度從-x上的A點進入第二象限，并以v₁=8m/s速度從+y上的C點沿水平方向進入第一象限．取微粒剛進入第一象限的時刻為0時刻，磁感應強度按圖乙所示規律變化（以垂直紙面向外的磁場方向為正方向），g=10m/s²．試求：
（1）帶電微粒運動到C點的縱坐標值h及電場強度E₁；
（2）+x軸上有一點D，OD=OC，若帶電微粒在通過C點后的運動過程中不再越過y軸，要使其恰能沿x軸正方向通過D點，求磁感應強度B₀及其磁場的變化周期T₀為多少？
（3）要使帶電微粒通過C點后的運動過程中不再越過y軸，求交變磁場磁感應強度B₀和變化周期T₀的乘積B₀ T₀應滿足的關系？

Answer 1

分析：（1）將粒子在第二象限內的運動分解為水平方向和豎直方向，得出兩個方向上的運動規律，結合運動學公式和牛頓第二定律求出帶電微粒運動到C點的縱坐標值h及電場強度E₁；
（2）若帶電微粒在通過C點后的運動過程中不再越過y軸，要使其恰能沿x軸正方向通過D點，作出粒子的運動的軌跡圖，根據洛倫茲力提供向心力，得出粒子在磁場中運動的半徑大小，結合幾何關系，求出磁感應度的通項表達式，再根據周期的關系求出磁場的變化周期T₀的通項表達式．
（3）當交變磁場周期取最大值而粒子不再越過y軸時，根據幾何關系求出圓心角的大小，從而求出T₀的范圍，以及B₀ T₀應滿足的關系．

解答：解：（1）將粒子在第二象限內的運動分解為水平方向和豎直方向，在豎直方向上做豎直上拋運動，在水平方向上做勻加速直線運動．
t=

v0

g

=0.4s．
h=

v0

2

t=0.8m．
ax=

v1

t

=2g，
則qE₁=2mg，解得E₁=0.2N/C．
（2）qE₂=mg，所以帶電的粒子在第一象限將做勻速圓周運動，設粒子運動圓軌道半徑為R，周期為T，則qv1B0=m

v12

R

可得R=

0.08

B0

．
使粒子從C點運動到D點，則有：h=(2n)R=(2n)

0.08

B0

．
解得：B₀=0.2n（T）（n=1，2，3…）．
T=

2πm

qB0

．

T0

2

=

T

4

，
T0=

T

2

=

πm

qB0

=

π

20n

(s)  (n=1，2，3…)．
（3）當交變磁場周期取最大值而粒子不再越過y軸時可作如圖運動情形：
由圖可知θ=

5π

6

T0≤

5

6

T=

5π

300B0

．
B0T0≤

π

60

(kg/C)．
答：（1）帶電微粒運動到C點的縱坐標值h為0.8m．電場強度E₁為0.2N/C．
（2）磁感應強度B₀為B₀=0.2n（T）（n=1，2，3…）．磁場的變化周期T₀為T0=

T

2

=

πm

qB0

=

π

20n

(s)  (n=1，2，3…)．
（3）交變磁場磁感應強度B₀和變化周期T₀的乘積B₀ T₀應滿足B0T0≤

π

60

(kg/C)．

點評：本題中質點在復合場運動，分析受力情況，確定質點的運動情況是解題的基礎．結合粒子運動的周期性以及臨界狀態，運用數學幾何知識綜合求解．